Question

[Lâm Anh]

Cho tam giác ABC, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I,J,K,L lần lượt là trung điểm của AB, AC, HC, HB. Chứng minh rằng 5 điểm I,J,K,L,E,F thuộc 1 đường tròn.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A D B E C F H I J K L O

Ta có

AI=BI (gt); AJ=CJ (gt) => IJ là đường trung bình của tg ABC

=> IJ//BC và \(IJ=\dfrac{BC}{2}\)

BL=HL (gt); CK=HK (gt) => KL là đường trung bình của tg HBC

=> KL//BC và \(KL=\dfrac{BC}{2}\)

=> IJ//KL (cùng // với BC và \(IJ=KL=\dfrac{BC}{2}\)

=> IJKL là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

Xét tg ACH có

CK=HK (gt); CJ=AJ (gt) => JK là đường trung bình của tg AHC

=> JK//AH 

Ta có

KL//BC (cmt) mà \(AH\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow AH\perp KL\)

\(\Rightarrow JK\perp KL\)

=> IJKL là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc \(=90^o\) là HCN)

Gọi O là giao của IK với JL 

=> OI=OK; OJ=OL (trong HCN 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> IK=JL (trong HCN 2 đường chéo bằng nhau)

=> OI=OK=OJ=OL => O là tâm đường tròn ngoại tiếp IJKL đường kính IK=JL

Ta có

\(BE\perp AC\left(gt\right)\) => \(\widehat{LEJ}=90^o\)  => E thuộc đường tròn đường kính JL hay \(E\in\left(O\right)\)

\(CF\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{KFI}=90^o\) => F thuộc đường tròn đường kính IK hay \(F\in\left(O\right)\)

=> I; J; K; L; E; F cùng thuộc (O)