NC
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
17 tháng 9 2017
bài j chỉ đi xem nào . đăng mấy cái câu hỏi linh ta linh tính
17 tháng 11 2019
Bn ko biết là đúng rùi!Đây là định lý nâng cao của lớp 8
:))
24 tháng 10 2019
Thanks nhưng ko cần tag, mình là người phàm trần, ko quan tâm mấy thứ trên trời thế này :)
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
25 tháng 10 2019
\(\left(xy+yz+zx\right)\left[\frac{1}{\left(kx+y\right)^2}+\frac{1}{\left(ky+z\right)^2}+\frac{1}{\left(kz+x\right)^2}\right]\ge\frac{9}{\left(k+1\right)^2}\).
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{1}{\left(kx+y\right)^2}+\frac{1}{\left(ky+z\right)^2}+\frac{1}{\left(kz+x\right)^2}\ge\frac{2}{\left(ky+z\right)\left(kz+x\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2xy}\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\ge0\).
Thật vậy, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(kx+y\right)^2\ge\left(kx+z\right)^2\\\left(k+1\right)^2.xy\ge\left(k+1\right)^2.y^2=\left(ky+y\right)^2\ge\left(ky+z\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{\left(kx-y\right)^2}{\left(kx+z\right)^2\left(ky+z\right)^2}\ge\frac{\left(kx-y\right)^2}{\left(k+1\right)^2.xy\left(kx+y\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(ky+z\right)^2}+\frac{1}{\left(kx+z\right)^2}-\frac{2}{\left(ky+z\right)\left(kx+z\right)}\ge\frac{1}{\left(k+1\right)^2.xy}-\frac{1}{\left(kx+y\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(kx+y\right)^2}+\frac{1}{\left(kx+z\right)^2}+\frac{1}{\left(ky+z\right)^2}\ge\frac{2}{\left(kx+z\right)\left(ky+z\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2.xy}\)
(điều phải chứng minh).
Bây giờ ta sẽ chứng minh tiếp \(\left(xy+yz+xz\right)\left[\frac{2}{\left(kx+z\right)\left(ky+z\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2.xy}\right]\ge\frac{9}{\left(k+1\right)^2}\)
Ta có: \(\frac{xy+yz+zx}{\left(k+1\right)^2.xy}=\frac{1}{\left(k+1\right)^2}+\frac{z\left(x+y\right)}{\left(k+1\right)^2.xy}\)
và \(\frac{2\left(xy+yz+zx\right)}{\left(kx+z\right)\left(ky+z\right)}=2-\frac{2z^2}{\left(kx+z\right)\left(ky+z\right)}\)
Cộng hai vế trên lại, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\frac{z\left(kx+y\right)}{\left(k+1\right)^2.xy}\ge\frac{2z^2}{\left(ky+z\right)\left(kx+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(kx+y\right)\left(ky+z\right)\left(kx+z\right)\ge2\left(k+1\right)^2.xyz\) luôn đúng (bất đẳng thức AM-GM).
Ta đã chứng minh được bất đẳng thức trên.
Cảm ơn bạn đã đánh giá cộng đồng, nếu có gì thắc mắc hoặc không hiểu, hãy đăng bài để được giải đáp nhé
Hay ở chỗ nào