Question

[Thầy Cao Đô]

Cho $\triangle A B C$ có $A B<A C$. Tia phân giác của $\widehat{A}$ cắt đường thẳng vuông góc với $B C$ tại trung điểm của $B C$ ở $D$. Gọi $H$ và $K$ là chân các đường vuông góc kẻ từ $D$ đến các đường thẳng $A B$, $A C$. Chứng minh $B H=C K$.

Answer 1

[Vũ Phương Anh]

Ta có $D$ thuộc phân giác của �^;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

���^=���^=90∘ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

���^=���^=90∘ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó △���=△���

Answer 2

[Nguyễn Ngọc Khôi Nguyên]

Ta có $D$ thuộc phân giác của \widehat{A};

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

\widehat{B G D}=\widehat{C G D}=90^{\circ} ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

\widehat{B H D}=\widehat{C K D}=90^{\circ} (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Đúng(0)

Answer 3

[Thân Việt Phong]

Ta có $D$ thuộc phân giác của góc A

DH vuông góc AB, DK vuông góc AC=>DH=DK(tính chất tia phân giác của 1 góc)

Gọi G là trung điểm BC

Xét 2 tam giác BGD và CGD có

góc BGD=góc CGD=90 độ(DG trung trực BC)

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

���^=���^=90∘ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó $△BHD=△CKD$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BH=CK$ (hai cạnh tương ứng).

Answer 4

[Nguyễn Châu Anh]

Ta có $D$ thuộc phân giác của �^;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

���^=���^=90∘ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

���^=���^=90∘ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó △���=△���

Answer 5

[Nguyễn Minh An]

Ta có $D$ thuộc phân giác của �^;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

���^=���^=90∘ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

���^=���^=90∘ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó △���=△���

Answer 6

[Trần Thu An]

Answer 7

[Trịnh Hoàng Minh]

Có D là phân giác của góc A

��⊥��$=>DH\perp AB$; ��⊥��$DK\perp AC$ ⇒��=��$\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi �$G$ là trung điểm của ��$BC$.

Xét △���$tam\; giácBGD$ và △���$tam\; giácCGD$

��$có\; :\; góc\; BGD\; =\; góc\; CGD\; (=90\; độ)(DG\; là\; trung\; trực\; của\; BC)$

��=��$BG=CG$ (gt),

��$DG$ là cạnh chung.

Do đó △���=△���$△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

⇒��=��$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $BHD$

△���$tam\; giácCKD\; và\; BHD$

���^=���^=90∘90
có :  góc BHD = góc CKD(gt);

��=��$DH=DK$ (cmt);

��=��$BD=CD$ (cmt).

Do đó △���=△���$△BHD=△CKD$ (ch-cgv)

⇒��=��$\Rightarrow BH=CK$ (2 cạnh t/ứng).

Answer 8

[Nguyễn Quang Đạt]

Ta có $D$ thuộc phân giác của �^;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

���^=���^=90∘ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

���^=���^=90∘ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó △���=△���

Answer 9

[Tống Thị Ánh Ngọc]

Gỉai

ta có $D$ thuộc phân giác của  �^
góc A;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

���^=���^=90∘ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

���^=���^=90∘ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó $△$

Đúng(0)

Answer 10

[Nguyễn Quốc Huy]

Ta có $D$ thuộc phân giác của �^;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

���^=���^=90∘ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

���^=���^=90∘ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó △���=△���

Answer 11

[Hoàng Gia Bảo]

Ta có $D$ thuộc phân giác của �^;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

���^=���^=90∘ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

���^=���^=90∘ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$

Đúng(0)

Answer 12

[Đỗ Đăng Khôi]

Ta có $D$ thuộc phân giác của 𝐴^;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

𝐵𝐺𝐷^=𝐶𝐺𝐷^=90∘ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

𝐵𝐻𝐷^=𝐶𝐾𝐷^=90∘ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó $△BHD=△CKD$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Answer 13

[Đỗ Đăng Khôi]

Ta có $D$ thuộc phân giác của 𝐴^;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

𝐵𝐺𝐷^=𝐶𝐺𝐷^=90∘ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

𝐵𝐻𝐷^=𝐶𝐾𝐷^=90∘ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó $△BHD=△CKD$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)