Question

[Thầy Cao Đô1]

Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A}=120^{\circ}$. Tia phân giác của $\widehat{A}$ cắt $BC$ tại $D$. Tia phân giác của $\widehat{ADC}$ cắt $AC$ tại $I$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $I$ trên đường thẳng $AB$, $BC$. Chứng minh $IH=IK$.

Answer 1

[Vũ Hồng Phong]

A. Ta có: $\angle BAD=\angle CAD$ $\angle ADB=120^{\circ}-\angle BAD=120^{\circ}-\angle CAD =$ $\angle ACD$ Vậy $AD$ là phân giác trong của $\angle A$ trong tam giác $ABC$ Do đó ta có $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (định lí phân giác) Mà $\angle A=\angle AHD$ (Do $H$ thuộc đường thẳng $AC$ là đường cao của tam giác $ABD$) $\angle HDA=180^{\circ}-\angle BDA=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ}=\angle C$ Vậy $\frac{HD}{DC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ Vậy $HD=BD$ và $\angle B=60^{\circ}=\angle HAD$ Do đó $\triangle AHD \cong \triangle ABD$ Vậy $\triangle ABC \cong \triangle AHD$ B. Ta có $\angle ADB=120^{\circ}-\angle BAD=120^{\circ}-\angle DAC=\angle ACD$ Lại có $AD$ là phân giác trong của $\angle A$ Do đó, ta có: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DA}$ Vậy $DC=DA$, vậy $AD$ là đường trung trực của $BH$ C. Ta có $\angle AHD = \angle B = 60^{\circ}=\angle HAC$, vậy $\triangle AHD \sim \triangle ACH$ Do đó $\dfrac{HA}{HD}= \dfrac{HC}{HA}$ Vậy $HA=HC$ D. Ta có $\angle ADB=120^{\circ}-\angle BAD=120^{\circ}-\angle DAC=\angle ACD$ Do đó tam giác $ABC$ cân tại $B$, ta có $DC>AB$ (Bất đẳng thức tam giác) E. Gọi $E$ là trung điểm của $CS$ thì ta có $CE=\frac{1}{2}CS$ Mà $\angle ACB=\angle AHB=90^{\circ}$, do đó $AH//CB$, ta có $\triangle AHB \sim \triangle ACB$ Vậy $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HB}{BC}$ Do đó $\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{BC}{AC}$ Vì $HEBC$ là hình bình hành nên ta có $BC=HE$ Vậy $\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{HE}{AC}$ Lại có $\triangle HSD \sim \triangle AHC$ Vậy $\dfrac{HS}{AC}=\dfrac{HD}{AH}$ Do đó $\dfrac{HE}{AC}=\dfrac{HD+DE}{AC}=\dfrac{HD}{AC}+\dfrac{DE}{AC}$ Vì $HA=HC$ nên ta có $HD=\frac{1}{2}AC$ Vậy $\dfrac{HE}{AC}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{DE}{AC}$ Mà $HE=\frac{1}{2}CS=\frac{1}{4}AB$ nên $\dfrac{HE}{AB}=\dfrac{1}{4}$ Do đó $\dfrac{1}{2}+\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{4}$ Vậy $\dfrac{DE}{AC}=-\dfrac{1}{4}$ Ta có $\triangle BDS \sim \triangle ACS$ Vậy $\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DS}{CS}$ Mà $\angle B =\angle HAD=60^{\circ} =\angle SDC$ Nên tam giác $SDC$ cũng là tam giác đều với $SD=DC$ Vậy $\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DS}{CS}=\dfrac{1}{2}$ Do đó $DE=\frac{-1}{4}AC$, suy ra $DE$ song song với $AC$ Lại có $\angle AHB=90^{\circ}$ nên $BH$ vuông góc với $AC$ Do đó $AD$ là đường trung trực của $BH$ nên $DE$ cũng là đường trung trực của $BH$ Vậy ta được $A,D,E$ thẳng hàng Chúc bạn học tốt!

Answer 2

[Thân Việt Phong]

Kẻ $IE\perp AD$ (với $E\in AD$).

Gọi $Ax$ là tia đối của tia $AB$.

Vì ���^ và ���^ là hai góc kề bù mà ���^=120∘ nên ���^=60∘ (1) 

Ta có $AD$ là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC$ là tia phân giác của ���^

$\Rightarrow IH=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (3)

Vì 

Đúng(0)

Answer 3

[Nguyễn Châu Anh]

Vì ���^ và ���^ là hai góc kề bù mà ���^=120∘ nên ���^=60∘ (1) 

Ta có $AD$ là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC$ là tia phân giác của ���^

$\Rightarrow IH=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (3)

Vì $DI$ là phân giác của ���^ nên $IK=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (4)

Từ (3) và 

Đúng(0)

Answer 4

[Nguyễn Minh An]

Kẻ $IE\perp AD$ (với $E\in AD$).

Gọi $Ax$ là tia đối của tia $AB$.

Vì ���^ và ���^ là hai góc kề bù mà ���^=120∘ nên ���^=60∘ (1) 

Ta có $AD$ là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC$ là tia phân giác của ���^

$\Rightarrow IH=$

Đúng(0)

Answer 5

[Nguyễn Quang Đạt]

Kẻ $IE\perp AD$ (với $E\in AD$).

Gọi $Ax$ là tia đối của tia $AB$.

Vì ���^ và ���^ là hai góc kề bù mà ���^=120∘ nên ���^=60∘ (1) 

Ta có $AD$ là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC$ là tia phân giác của ���^

$\Rightarrow IH=$

Đúng(0)

Answer 6

[Tống Thị Ánh Ngọc]

Kẻ $IE\perp AD$ (với $E\in AD$).

Gọi $Ax$ là tia đối của tia $AB$.

Vì ���^ và ���^ là hai góc kề bù mà ���^=120∘ nên ���^=60∘ (1) 

Ta có $AD$ là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC$ là tia phân giác của ���^

$\Rightarrow IH=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (3)

Vì $DI$ là phân giác của ���^

Đúng(0)

Answer 7

[Nguyễn Quốc Huy]

Vì ���^ và ���^ là hai góc kề bù mà ���^=120∘ nên ���^=60∘ (1) 

Ta có $AD$ là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC$ là tia phân giác của ���^

$\Rightarrow IH=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (3)

Vì $DI$ là phân giác của ���^ nên $IK=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (4)

Từ (3) và $(4)$ suy ra $IH=I$

Đúng(0)

Answer 8

[Hoàng Gia Bảo]

Kẻ $IE\perp AD$ (với $E\in AD$).

Gọi $Ax$ là tia đối của tia $AB$.

Vì ���^ và ���^ là hai góc kề bù mà ���^=120∘ nên ���^=60∘ (1) 

Ta có $AD$ là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC$ là tia phân giác của ���^

$\Rightarrow IH=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (3)

Vì $DI$ là phân giác của ���^

Answer 9

[Đỗ Đăng Khôi]

Vì 𝐵𝐴𝐶^ và 𝐶𝐴𝑥^ là hai góc kề bù mà 𝐵𝐴𝐶^=120∘ nên 𝐶𝐴𝑥^=60∘ (1) 

Ta có $AD$ là phân giác của 𝐵𝐴𝐶^⇒𝐷𝐴𝐶^=12𝐵𝐴𝐶^=60∘ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC$ là tia phân giác của 𝐷𝐴𝑥^

$\Rightarrow IH=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (3)

Vì $DI$ là phân giác của 𝐴𝐷𝐶^ nên $IK=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (4)

Từ (3) và $(4)$ suy ra $IH=IK$.