Phân số \(\dfrac{342}{343}\) là phân số tối giản có dạng thập phân là 0,99708...

SỬA ĐỀ: b) Chứng tỏ S>n-2... & Điều kiện: \(n\inℕ^∗\) và \(n>2\) (theo quy luật)

a) \(S=\dfrac{3}{4}+\dfrac{8}{9}+\dfrac{15}{16}+...+\dfrac{n^2-1}{n^2}\) 

\(S=\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\left(1-\dfrac{1}{9}\right)+\left(1-\dfrac{1}{16}\right)+...+\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)\)

\(S=1-\dfrac{1}{2^2}+1-\dfrac{1}{3^2}+1-\dfrac{1}{4^2}+...+1-\dfrac{1}{n^2}\)

\(S=n-1-\left(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)\)

Nhận xét: 

\(n-1-\left(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)< n-1\)

\(\Rightarrow S< n-1\) (*)

b) Nhận xét:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1\cdot2}\\\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2\cdot3}\\...\\\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow-\left(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)>1\)

\(\Rightarrow n-1-\left(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)>n-1-1=n-2\)

\(\Rightarrow S>n-2\) (**) 

Từ (*) và (**) suy ra:

\(n-2< S< n-1\)

Mà \(n-1\) và \(n-2\) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên:

S không thể là một số tự nhiên 

Vậy S không thể là một số tự nhiên 

Gọi số tự nhiên cần tìm là \(\overline{5abc}\)

Theo đề bài ta có:

\(\overline{abc}=\dfrac{1}{41}\times\overline{5abc}\)

\(\overline{abc}=\dfrac{1}{41}\times\left(5000+\overline{abc}\right)\)

\(\overline{abc}=\dfrac{5000}{41}+\dfrac{1}{41}\times\overline{abc}\)

\(\overline{abc}-\dfrac{1}{41}\times\overline{abc}=\dfrac{5000}{41}\)

\(\dfrac{40}{41}\times\overline{abc}=\dfrac{5000}{41}\)

\(\overline{abc}=\dfrac{5000}{41}:\dfrac{40}{41}\)

\(\overline{abc}=125\) hay số cần tìm là \(\overline{5abc}=5125\)

Vậy số cần tìm là 5125

Số lượng các chữ cái khác nhau trong nhóm từ "nghìn năm thăng long" là:

Chữ N: 5 chữ

Chữ G: 3 chữ 

Chữ H: 2 chữ

Chữ I: 1 chữ

Chữ Ă: 2 chữ

Để dãy từ "nghìnnămthăng longnghìnnămthănglong..." khi viết thành chữ số được một số lớn nhất thì các chữ cái khác nhau sẽ tương ứng với các chữ số khác nhau là:
Chữ N = 9

Chữ G = 8

Chữ H = 7 

Chữ I = 6

Chữ Ă = 5

Do đó tổng các chữ số trong nhóm "nghìn năm thăng long" là:

\(\left(9\cdot5\right)+\left(8\cdot3\right)+\left(7\cdot2\right)+\left(6\cdot1\right)+\left(5\cdot2\right)=99\)

Suy ra tổng các chữ số trong dãy "nghìnnămthăng longnghìnnămthănglong..." là một số chia hết cho 99

Mà \(1102010⋮̸99\) nên tổng các chữ số trong dãy "nghìnnămthăng longnghìnnămthănglong..." không thể là 1102010

Vậy...

Mình chỉ làm theo ý mình hiểu nên không biết đúng không

Hình đâu rồi bạn?

Diện tích hình tròn là:

\(2,5\times2,5\times3,14=19,625\left(cm^2\right)\)

Diện tích phần màu đen là:
\(19,625:2=9,8125\left(cm^2\right)\)

Đáp số:...

\(\dfrac{1}{20\cdot19}-\dfrac{1}{19\cdot18}-\dfrac{1}{18\cdot17}-...-\dfrac{1}{3\cdot2}-\dfrac{1}{2\cdot1}\)

\(=\left(\dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{20}\right)-\left(\dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{19}\right)-\left(\dfrac{1}{17}-\dfrac{1}{18}\right)-...-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)-\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\)

\(=\dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{17}+\dfrac{1}{18}-...-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-1+\dfrac{1}{2}\)

\(=-\dfrac{1}{20}+\left(\dfrac{1}{19}+\dfrac{1}{19}\right)+\left(-\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}\right)+\left(-\dfrac{1}{17}+\dfrac{1}{17}\right)+...+\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)+\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)-1\)

\(=-\dfrac{1}{20}+\dfrac{2}{19}-1\)

\(=-\dfrac{359}{380}\)

\(\dfrac{7^{49}-7^{48}}{7^{48}}\)

\(=\dfrac{7^{49}}{7^{48}}-\dfrac{7^{48}}{7^{48}}\)

\(=7-1\)

\(=6\)

Diện tích mảnh đất là:

\(50\times8=400\left(m^2\right)\)

Diện tích đất để xây nhà là:

\(400\times25\%=100\left(m^2\right)\)

Vậy...

Số số hạng của dãy số là:

\(\left(198-2\right):2+1=99\) (số)

Tổng các số hạng trong dãy là:

\(\left(198+2\right)\times99:2=9900\)

Trung bình cộng của các số trong dãy là:

\(9900:99=100\)

Đáp số: 100