Bài 5

a/

\(\dfrac{2005}{2009}=1-\dfrac{4}{2009};\dfrac{2007}{2010}=1-\dfrac{3}{2010}\)

Ta  thấy \(\dfrac{4}{2009}>\dfrac{4}{2010}>\dfrac{3}{2010}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2005}{2009}< \dfrac{2007}{2010}\)

Các câu b; c; d làm tương tự

Bài 8

\(A=\dfrac{3535.232323}{353535.2323}=\dfrac{35.101.23.10101}{35.10101.23.101}=\dfrac{23.35}{23.35}=1\)

\(B=1+\dfrac{1}{3534};C=1+\dfrac{1}{2322}\)

Ta thấy \(\dfrac{1}{2322}>\dfrac{1}{3534}\)

\(\Rightarrow A< B< C\)

Từ 1 đến 2010 lập thành 1 dãy số cách đều có khoảng cách là 1

Số các số hạng của dãy là

(2010-1)+1=2010 số hạng

Các số hạng chia hết cho 3 trong dãy lập thành 1 dãy số cách đều có khoảng cách là 3 và số hạng đầu tiên là 3 và số hạng cuối cùng là 2010

Số các số hạng chia hết cho 3 là

\(\dfrac{2010-3}{3}+1=670\) số hạng

Số các số không chia hết cho 3 là

2010-670=1340 số

\(2A=\dfrac{3-1}{1.2.3}-\dfrac{4-2}{2.3.4}-\dfrac{5-3}{3.4.5}-...-\dfrac{99-97}{97.98.99}=\)

\(=\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}-\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}-\dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}-...-\dfrac{1}{97.98}+\dfrac{1}{98.99}=\)

\(=\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{2}{2.3}+\dfrac{1}{98.99}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{98.99}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{98.99}\right)\)

Ta có E và H cùng nhìn AB dưới 2 góc bằng nhau và bằng \(90^o\)

=> E và H thuộc đường tròn đường kính AB

=> A; E; H; B cùng thuộc 1 đường tròn

b/

Xét tg vuông ABM có

\(AB^2=BE.BM\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông ABC có

\(AB^2=BH.BC\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow BE.BM=BH.BC\)

c/

Xét td vuông ABM có

\(AM^2=ME.MB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền) (1)

Xét tg vuông AHC có

MA=MC (gt) => \(HM=AM=CM=\dfrac{AC}{2}\) (Trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow HM^2=ME.MB\)

Nếu \(a\ge2\)

\(\Rightarrow\overline{abba}\ge2002\); \(\overline{cdc}\le999\)

\(\Rightarrow\overline{abba}-\overline{cdc}\ge2002-999=1003\)

Mà \(\overline{abba}-\overline{cdc}=\overline{ee}\) là số có 2 chữ số

\(\Rightarrow a< 2\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow\overline{1bb1}-\overline{cdc}=\overline{ee}\)

Nếu \(b\ge1\Rightarrow\overline{1bb1}\ge1111\);\(\overline{cdc}\le999\)

\(\Rightarrow\overline{1bb1}-\overline{cdc}\ge1111-999=112>\overline{ee}\)

\(\Rightarrow b< 1\Rightarrow b=0\)

\(\Rightarrow1001-\overline{cdc}=\overline{ee}\)

Nếu \(c\le8\Rightarrow\overline{cdc}\le898\)

\(\Rightarrow1001-\overline{cdc}\ge1001-898=103>\overline{ee}\)

\(\Rightarrow c>8\Rightarrow c=9\)

Ta có

\(1001-\overline{cdc}=\overline{ee}\Rightarrow1001=\overline{9d9}+\overline{ee}\)

Chữ số tận cùng của tổng là 1 \(\Rightarrow e=2\)

\(\Rightarrow1001-\overline{cdc}=22\Rightarrow\overline{cdc}=1001-22=979\)

Kết luận

a=1; b=0; c=9; d=7; e=2

Dựng \(BH\perp AC\left(H\in AC\right)\)

Xét tg vuông BHC có

\(BC^2=BH^2+CH^2\) (Pitago)

\(\Rightarrow a^2=BH^2+\left(AC-AH\right)^2=BH^2+AC^2+AH^2-2AC.AH=\)

\(=\left(BH^2+AH^2\right)+AC^2-2AC.AH\) (1)

Xét tg vuông AHB có

\(BH^2+AH^2=AB^2=c^2\)

\(AH=AB\cos A=c\cos A\)

Thay vào (1)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)

\(3A=3+3^2+3^3+...+3^{11}\)

\(2A=3A-A=3^{11}-1\Rightarrow A=\dfrac{3^{11}-1}{2}\)

\(4B=4^2+4^3+...+4^{2019}\)

\(3B=4B-B=4^{2019}-4\Rightarrow B=\dfrac{4^{2019}-4}{3}\)

a/

Gọi x là số phút gọi thỏa mãn đề bài

\(32+\left(x-45\right).0,4=44+0,25x\)

\(\Leftrightarrow32+0,4x-18=44+0,25x\)

\(\Leftrightarrow0,15x=30\Rightarrow x=200\)

b/

+Nếu KH gọi 180 phút trong 1 tháng thì

Số tiền cho gói cước A là \(32+\left(180-45\right).0,4=86\) USD

Số tiền cho gói cước B là \(44+180.0,25=89\) USD

Trong trường hợp này chọn gói cước A có lợi hơn

+ Trường hợp KH gọi 500 phút thì

Số tiền cho gói cước A: \(32+\left(500-45\right).0,4=214\) USD

Số tiền cho gói cước B: \(44+500.0,25=169\) USD

Trong trường hợp này chọn gói cước B có lợi hơn

\(\overline{abccba}=100001xa+10010xb+1100xc=\)

\(=11x9091xa+11x910xb+11x100xc=\)

\(=11x\left(9091xa+910xb+100xc\right)⋮11\)

Ta thấy

\(x+23⋮31\)

\(x+8⋮15\Rightarrow\left(x+8\right)+15=x+23⋮15\)

\(\Rightarrow\left(x+23\right)=BC\left(15;31\right)\) x nhỏ nhất khi \(x+23=BCNN\left(15;31\right)\)

\(\Rightarrow BCNN\left(15;31\right)=15x31=465\)

\(\Rightarrow x+23=465\Rightarrow x=442\)