\(=7^{94}\left(7^2+7-1\right)=7^{94}.55=7^{94}.5.11⋮11\)

\(\Rightarrow\overline{ab}x45=\overline{ba0}\)

Do \(b\ne0\Rightarrow b=2\) hoặc \(b=8\)

+ Với \(b=2\)

\(\Rightarrow\overline{a2}x45=\overline{2a0}\)

\(\Rightarrow\left(10xa+2\right)x45=200+10xa\)

\(\Rightarrow440xa=110\) (loại)

+ Với \(b=8\)

\(\Rightarrow\overline{a8}x45=\overline{8a0}\)

\(\Rightarrow\left(10xa+8\right)x45=800+10xa\)

\(\Rightarrow440xa=440\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow a+b=1+8=9\)

a/

Xét tg vuông PQI và tg vuông HQI có

QI chung

\(\widehat{PQI}=\widehat{HQI}\left(gt\right)\)

=> tg PQI = tg HQI (hai tg vuông có cạnh huyền và 1 góc nhọn bằng nhau)

c/

Xét tg PQH có

tg PQI = tg HQI (cmt) => PQ=HQ => th PQH cân tại Q

\(\widehat{PQI}=\widehat{HQI}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow PH\perp QI\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

d/

Xét tg QKR có

PQ=HQ (cmt)

PK=HR (gt)

=> PQ+PK=HQ+HR => QK=QR => tg QKR cân tại Q

\(\widehat{PQI}=\widehat{HQI}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow QI\perp KR\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Ta có

\(RP\perp QK\)

\(\Rightarrow KI\perp QR\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

Mặt khác \(IH\perp QR\left(gt\right)\)

=> H; I; K thẳng hàng (Từ 1 điểm ngoài đường thẳng cho trước chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho)

Gọi d=UCLN(a;b)

=> Tồn tại 2 số nguyên m;n sao cho

a=md và b=nd

ta có

a+b=md+nd=d(m+n)=p\(\Rightarrow p⋮d\) mà p là số nguyên tố nên d=1

=> a và b nguyên tố cùng nhau

\(D=\dfrac{6-1}{1.6}+\dfrac{11-6}{6x11}+\dfrac{16-11}{11x16}+...+\dfrac{56-51}{51.56}=\)

\(=1-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{16}+...+\dfrac{1}{51}-\dfrac{1}{56}=1-\dfrac{1}{56}=\dfrac{55}{56}\)

gọi d là UC(2n+1; 3n+1) nên

\(2n+1⋮d\Rightarrow3\left(2n+1\right)=6n+3⋮d\)

\(3n+1⋮d\Rightarrow2\left(3n+1\right)=6n+2⋮d\)

\(\Rightarrow6n+3-\left(6n+2\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> 2n+1 và 3n+1 nguyên tố cùng nhau

a/

Ta có

\(\widehat{APQ}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow PQ\perp AD\)

\(BC\perp AD\left(gt\right)\)

=> PQ//BC (cùng vg với AD)

=> BQPC là hình thang

Xét tg OPQ có

OP = OQ (bán kính (O)) => tg OPQ cân tại O

\(OM\perp BC\left(gt\right);AD\perp BC\) => OM//AD

Mà \(AD\perp PQ\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow OM\perp PQ\)

\(\Rightarrow\widehat{QOE}=\widehat{POE}\) (trong tg cân đường cao xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác)

Mà \(sđ\widehat{QOE}=sđcungQE;sđ\widehat{POE}=sđcungPE\) (góc ở tâm)

=> sđ cung QE = sđ cung PE  (1)

Ta có

sđ cung BE = sđ cung CE (đường thẳng đi qua tâm đường tròn và vuông góc với dây cung thì chia đôi cung chắn) (2)

Ta có

sđ cung BQ = sđ cung BE - sđ cung QE (3)

sđ cung CP = sđ cung CE - sđ cung PE (4)

Từ (1) (2) (3) (4) => sđ cung BQ = sđ cung CP

=> BQ = CP (Hai cung có số đo bằng nhau thì độ dài 2 dây trương cung bằng nhau)

=> BQPC là hình thang cân

b/ Gọi I là giao của PQ với M

Ta có 

OM//AD (cmt) => MI//DP

PQ//BC (cmt) => PI//DM

=> IMDP là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

=> PI = DM (cạnh đối hbh)

Xét tg cân OPQ có

\(OM\perp PQ\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow PI=QI=\dfrac{QP}{2}\) (trong tg cân đường cao xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến)

\(\Rightarrow DM=PI=\dfrac{QP}{2}\Rightarrow QP=2DM\)

c/

Ta có

\(sđ\widehat{QAE}=\dfrac{1}{2}sđcungQE;sđ\widehat{PAE}=\dfrac{1}{2}sđcungPE\) (góc nội tiếp)

Mà sđ cung QE = sđ cung PE (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{QAE}=\widehat{PAE}\)

d/

Ta có

\(BH\perp AC\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

\(\widehat{ACQ}=90^o\) (góc nt chawns nửa đường tròn) \(\Rightarrow CQ\perp AC\)

=> BH//CQ

\(CH\perp AB\)

\(\widehat{ABQ}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BQ\perp AB\)

=> CH//BQ

=> BQCH là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

=> BQ=CH (cạnh đối hbh)

Mà BQ=CP (cmt)

=> CH=CP => tg CHP cân tại C

Mặt khác ta có \(BC\perp AD\Rightarrow BC\perp HP\)

=> CD là trung trực của HP (trong tg cân đường cao xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung trực)

e/

Ta có

\(OM\perp BC\Rightarrow MB=MC\) (trong đường tròn đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung)

=> M là trung điểm của BC

Xét hình bình hành BQCH

Nối Q với H cắt BC tại M' => M'B = M'C (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà M cũng là trung điểm của BC \(\Rightarrow M'\equiv M\)

=> Q, M, H thẳng hàng

a/

Xét tg vuông ABD và tg vuông EBD có

BD chung; \(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\left(gt\right)\)

=> tg ABD = tg EBD (hai tg vuông có cạnh huyền và 1 góc nhọn bằng nhau) => AB=BE

b/

Xét tg ABE có

AB=BE (cmt) => tg ABE cân tại B

Mà BD là phân giác của \(\widehat{B}\) (gt) => BD là đường cao của tg ABE (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao) \(\Rightarrow AE\perp BD\)

c/

Xét tg vuông ABC và tg vuông EBH có

AB=BE (cmt)

\(\widehat{ACB}=\widehat{EHB}\) (cùng phụ với \(\widehat{B}\) )

=> tg ABC = tg EHB (Hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => BH=BC

d/

C/m tương tự câu (b) khi xét tg BCH

\(\Rightarrow HC\perp BD\)

Mà \(AE\perp BD\left(cmt\right)\)

=> AE//HC (cùng vuông góc với BD)

Ta có

\(BG=\dfrac{2}{3}BN\) (t/c đường trung tuyến) \(\Rightarrow BN=\dfrac{3}{2}BG\)

\(CG=\dfrac{2}{3}CP\) (t/c đường trung tuyến) \(\Rightarrow CP=\dfrac{3}{2}CG\)

\(\Rightarrow BN+CP=\dfrac{3}{2}\left(BG+CG\right)\) (1)

Xét tg BCG có

\(BG+CG>BC\) (trong tg tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh còn lại)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(BG+CG\right)>\dfrac{3}{2}BC\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BN+CP>\dfrac{3}{2}BC\left(dpcm\right)\)