a/

Xét tg ADB có

\(\widehat{ADM}=\widehat{BDM}\left(gt\right)\Rightarrow\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AD}{BD}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy) (1)

Xét tg ADC có

\(\widehat{ADN}=\widehat{CDN}\left(gt\right)\Rightarrow\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AD}{CD}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy) (2)

Mà BD = CD (gt) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AD}{CD}\) (3)

Xét tg ABC

Từ (1) (2) (3) => \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\) => MN//BC (Talet đảo trong tg)

b/ Ta có

AB=AC (gt)

BD=CD (gt)

\(\Rightarrow AD\perp BC\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Mà MN//BC

\(\Rightarrow AD\perp MN\)

Ta có

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân)

Xét tg vuông AMI và tg vuông ANI có

AI chung

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (cmt)

=> tg AMI = tg ANI (Hai tg cân có 1 cạnh góc vuông và 1 góc nhọn tương ứng bằng nhau) => MI=NI

c/

Xét tg vuông ABD có

\(AB=\sqrt{AD^2+BD^2}\) (Pitago)

Ta có \(BD=CD=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{24}{2}=12cm\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{9^2+12^2}=15cm\)

Ta có

\(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AD}{BD}\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{7}\)

Ta có

MN//BC (cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MI}{BD}=\dfrac{3}{7}\Rightarrow MI=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{3BD}{7}\)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{6BD}{7}=\dfrac{6.12}{7}=\dfrac{72}{7}cm\)

a/

Xét tg ABD có

\(\widehat{DAE}=\widehat{BAE}\Rightarrow\dfrac{DE}{EB}=\dfrac{AD}{AB}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy) (1)

Xét tg ADC có

\(\widehat{ADF}=\widehat{CDF}\Rightarrow\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{AD}{CD}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy) (2)

Xét hình bình hành ABCD có

\(AB=CD\) (cạnh đối hbh) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AD}{CD}\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\dfrac{DE}{EB}=\dfrac{AF}{FC}\)

b/

Ta có

\(\dfrac{DE}{EB}=\dfrac{AF}{FC}\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{DE}{AF}=\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{EB-DE}{FC-AF}\) (T/c dãy tỷ số = nhau)

Ta có

EB=OB+OE; DE=OD-OE

Mà OB=OD (trong hình bình hành 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> EB-DE=OB+OE-OB+OE=2OE

C/m tương tự ta cũng có

FC-AF=2OF

\(\Rightarrow\dfrac{DE}{AF}=\dfrac{EB-DE}{FC-AF}=\dfrac{2OE}{2OF}=\dfrac{OE}{OF}\Rightarrow\dfrac{DE}{OE}=\dfrac{AF}{OF}\)

Xét tg AOD có

\(\dfrac{DE}{OE}=\dfrac{AF}{OF}\left(cmt\right)\) => EF//AD (Talet đảo trong tg)

Mà AD//BC (cạnh đối hbh) 

=> EF//BC

\(\overline{a8b}.b=3136\Rightarrow b=\left\{4;6\right\}\)

+ Nếu \(b=6\Rightarrow3136⋮6\) nhưng 3136 không chia hết cho 6

\(\Rightarrow b=4\Rightarrow\overline{a84}=3136:4=784\)

\(\Rightarrow a=7\Rightarrow a.b=7.4=28\)

câu 6 

a/

b/

Hoành độ điểm N là nghiệm của PT

\(3x+2=-x+6\Leftrightarrow x=2\) Thay vào d'

\(\Rightarrow y=-2+6=4\)

\(\Rightarrow N\left(2;4\right)\)

c/

\(\tan\alpha=\dfrac{4}{2+\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}\)

d/

\(\dfrac{n-1}{n+3}=\dfrac{\left(n+3\right)-4}{n+3}=1-\dfrac{4}{n+3}\)

Để \(\left(n-1\right)⋮\left(n+3\right)\Rightarrow4⋮n+3\)

\(\Rightarrow\left(n+3\right)=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{-7;-5;-4;-2;-1;1\right\}\)

Gọi số cần tìm là A nên

\(A+1⋮8\Rightarrow A+1+64=A+65⋮8\)

\(A+3⋮31\Rightarrow A+3+62=A+65⋮31\)

\(\Rightarrow A+65=BC\left(8;31\right)\Rightarrow A=BC\left(8;31\right)-65\)

\(\Leftrightarrow2xy+2x-3y-3=12\)

\(\Leftrightarrow y\left(2x-3\right)=-\left(2x-15\right)\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{-\left(2x-3\right)+12}{2x-3}=-1+\dfrac{12}{2x-3}\) (1)

Để y nguyên thì \(12⋮2x-3\Rightarrow\left(2x-3\right)=\left\{-12;-6;-4;-3;-2;-1;1;2;3;4;6;12\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{-\dfrac{9}{2};-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2};1;2;\dfrac{5}{2};3;\dfrac{7}{2};\dfrac{9}{2};\dfrac{15}{2}\right\}\) Do x nguyên

\(\Rightarrow x=\left\{0;1;2;3\right\}\) Thay lần lượt các giá trị của x vào (1) để tìm các giá trị tương ứng của y

Kéo dài HM cắt CK tại E, Xét tg BHM và tg CEM có

MB=MC (gt)

BH//CK (cùng vg với AD) \(\Rightarrow\widehat{MBH}=\widehat{MCE}\) (góc so le trong)

\(\widehat{BMH}=\widehat{CME}\) (góc đối đỉnh)

=> tg BHM = tg CEM (g.c.g) => MH=ME

Xét tg vuông KHE có

MH=ME (cmt) \(\Rightarrow MK=MH=ME=\dfrac{HE}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

\(\dfrac{n^2-n-1}{n-1}=\dfrac{n\left(n-1\right)-1}{n-1}=n-\dfrac{1}{n-1}\)

Để thỏa mãn đk đề bài

\(\Rightarrow1⋮\left(n-1\right)\Rightarrow\left(n-1\right)=\left\{-1;1\right\}\Rightarrow n=\left\{0;2\right\}\)

\(a^3+6a^2+8=a\left(a^2+6a+9-1\right)=\)

\(=a\left[\left(a+3\right)^2-1\right]=a\left(a+3-1\right)\left(a+3+1\right)=\)

\(=a\left(a+2\right)\left(a+4\right)\)

Đây là tích của 3 số chẵn liên tiếp đặt \(a=2k\)

\(\Rightarrow a\left(a+2\right)\left(a+4\right)=2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=A\)

Ta thấy

\(k\left(k+1\right)\) chẵn đặt \(k\left(k+1\right)=2p\)

\(\Rightarrow A=16p\left(k+2\right)⋮16\) (1)

Ta thấy \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3\) (2) (Tích của 3 số TN liên tiếp)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow A⋮16x3\Rightarrow A⋮48\) vì \(\left(16,3\right)=1\)