a/

Ta có

\(\widehat{BAC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow AB\perp AC\Rightarrow AE\perp AC;HF\perp AC\left(gt\right)\) => AE//HF

\(AC\perp AB\Rightarrow AF\perp AB;HE\perp AB\left(gt\right)\) => AF//HE

=> AEHF là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà \(\widehat{BAC}=90^o\left(cmt\right)\)

=> AEHF là hình CN

b/

Xét tg vuông EHA và tg vuông ABC có

\(\widehat{EAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )

=> tg EHA đồng dạng với tg ABC

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{HE}{AB}\)

Mà AEHF là hình CN (cmt) => HE=AF (cạnh đối HCN)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\Rightarrow AE.AB=AF.AC\left(dpcm\right)\)

c/

\(\widehat{BAC}=90^o\left(cmt\right)\)

d/

Xét tg vuông HFC có

\(HI=CI\left(gt\right)\Rightarrow FI=HI=CI=\dfrac{HC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> H; F; C cùng nằm trên đường tròn đường kính HC tâm I

=> đường tròn tâm I đường kính HC là đường tròn ngoại tiếp tg HFC

=> tg IHF cân tại I \(\Rightarrow\widehat{IFH}=\widehat{IHF}\)

Ta có

HF//AB (cùng vuông góc với AC) \(\Rightarrow\widehat{IHF}=\widehat{ABC}\) (góc đồng vị)

\(\Rightarrow\widehat{IFH}=\widehat{ABC}\) (1)

Xét tg vuông EAH và tg vuông HFE có

HE chung; AE=HF (cạnh đối hình CN) => tg EAH = tg HFE (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bàng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{EAH}=\widehat{HFE}\)

Mà \(\widehat{EAH}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{HFE}=\widehat{ACB}\) (2)

Mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\) (3)

Từ (1) (2) (3)

\(\Rightarrow\widehat{IFH}+\widehat{HFE}=\widehat{IFE}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\)

=> EF là tiếp tuyến với (I)

Số tự nhiên có hai chữ số chia cho 9 dư 1 là: 10; 19; 28; 37; 46; 55; 64; 73; 82; 91.

Số tự nhiên có hai chữ số chia cho 10 dư 3 là: 13; 23; 33; 43; 53; 63; 73; 83; 93.

Như vậy chỉ có duy nhất số 73 chia cho 9 dư 1 và chia 10 dư 3. Ta thấy 73 chia 13 dư 8.

Vậy A chia cho 13 có số dư là 8.

\(\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{c+a}=\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{a+b}{c}=2\)

\(\Rightarrow A=2020-2+2-2=2018\)

\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{2024}\)

\(A=2A-A=2^{2024}-1\)

\(B=2^{2024}\)

=> A và B là 2 số TN liên tiếp

Trong phép chia có dư số dư lớn nhất kém số chia 1 đơn vị

=> số chia là

67+1=68

Theo đề bài

Số bị chia = 68x100+67 = 6867

Ta có

\(\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{b}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

\(\dfrac{CN}{AN}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{a}{b}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{CN}{AN}\Rightarrow\dfrac{BM}{CN}=\dfrac{AM}{AN}\) => MN//BC (Talet)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\Rightarrow\dfrac{AM}{b}=\dfrac{MN}{a}\)  (1)

Ta có

\(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{b}{a}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{b}=\dfrac{BM}{a}=\dfrac{AM+BM}{a+b}=\dfrac{AB}{a+b}=\dfrac{b}{a+b}\)

\(\Rightarrow AM=\dfrac{b^2}{a+b}\) Thay vào (1)

\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{b^2}{a+b}}{b}=\dfrac{MN}{a}\Rightarrow\dfrac{b}{a+b}=\dfrac{MN}{a}\Rightarrow MN=\dfrac{ab}{a+b}\)

d3//d2 \(\Rightarrow a=-1\)

d3 cắt d1 tại điểm có hoành độ bằng 1

\(\Rightarrow a+b=2\)

Ta có hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\a+b=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=3\end{matrix}\right.\)

Số cần tìm là \(\overline{ab}\) theo đề bài

\(\overline{12ab}=31x\overline{ab}\)

\(\Rightarrow1200+\overline{ab}=31x\overline{ab}\)

\(\Rightarrow30x\overline{ab}=1200\Rightarrow\overline{ab}=1200:30=40\)

\(\Leftrightarrow x\left(5-2y\right)=24\Leftrightarrow x=\dfrac{24}{5-2y}\)(1)

Để x nguyên \(\Rightarrow24⋮5-2y\Rightarrow\left(5-2y\right)=\left\{-24;-12;-8;-6;-4;-3-2;-1;1;2;3;4;6;8;12;24\right\}\)

Tìm y tương ứng thay vào (1) để tìm x

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=1\Rightarrow\left(x-1\right)=\pm1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)