a/

\(Ax\perp m\left(gt\right);By\perp m\left(gt\right)\) => Ax//By (cùng vuông góc với m)

Mà Cz//Ax (gt)

=> Cz//By (cùng // với Ax)

b/

\(\widehat{BCz}=\widehat{ACB}-\widehat{C}=110^o-30^o=80^o\)

Ta có

Cz//By (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BCz}=\widehat{CBy}=80^o\) (góc so le trong)

c/

\(CD\perp Ax\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{ADC}=90^o\)

Cz//Ax (gt) \(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{C}=30^o\) (Góc so le trong)

Xét tg vuông ACD có

\(\widehat{ACD}=\widehat{ADC}-\widehat{A}=90^o-30^o=60^o\)

1/

Ta có

\(ÁH\perp BD\left(gt\right);CK\perp BD\left(gt\right)\) => AH//CK (1)

Xét tg vuông ADH và tg vuông BCK có

AD//BC (cạnh đối hbh) \(\Rightarrow\widehat{ADH}=\widehat{CBK}\) (góc so le trong)

AD=BC (cạnh đối hbh)

=> tg ADH = tg BCK (Hai tg cuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => AH=CK (2)

Từ (1) và (2) => AHCK là hbh (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

2/ 

Ta có

AH//CK (cmt) => AI//CF

AB//CD (cạnh đối hbh) => AF//CI

=> AICF là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh) => AI = CF (cạnh đối hbh)

4/ Xét hbh AHCK có

AC cắt HK tại O' => O'H=O'K (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => O' là trung điểm HK

Mà O cũng là trung điểm HK

=> \(O\equiv O'\) => A; O; C thẳng hàng

5/

Xét hbh AHCK có

AC cắt HK tại O (cmt) => OA=OC

Xét hbh ABCD có

OA=OC (cmt) => OB=OD (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Ta có

AICF là hbh (cmt) => FI cắt AC tại trung điểm O của AC (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> AC; BD; IF đồng quy

1 tuần có 7 ngày nên tuổi ông gấp 7 làn tuổi cháu

Chia tuổi ông thành 7 phần bằng nhau thì tuổi cháu là 1 phần

Tổng số phần bằng nhau là

7+1=8 phần

Giá trị 1 phần hay tuổi cháu là

72:8=9 tuổi

Tuổi ông là

9x7=63 tuổi

Nếu mỗi bàn có 3 hs ta bỏ ra 2 bàn trống thì số hs không ngồi vào bàn là

3x2+4=10 hs

Số hs mỗi bàn ngồi 4 hơn số hs mỗi bàn ngồi 3 là

4-3=1 hs

Số bàn là

10:1+2=12 bàn

Số hs là

12x3+4=40 hs

=-65.87+65.17-87.17+65.87=

=17(65-87)=-17.22

A=3.6.9.12.15.18.21.24.27+5.12.19.26.33.40=

=3.6.9.12.15.18.21.2.12.27+5.12.19.26.3.11.4.10=

=12.12(3.6.9.15.18.21.2.27+5.19.26.11.10)\(⋮144\)

\(\Leftrightarrow x\left(y+5\right)=5y+36\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{5y+36}{y+5}=\dfrac{5\left(y+5\right)+11}{y+5}=5+\dfrac{11}{y+5}\left(y\ne-5\right)\) (1)

x nguyên khi \(11⋮\left(y+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(y+5\right)=\left\{-11;-1;1;11\right\}\)

\(\Rightarrow y=\left\{-16;-6;-4;6\right\}\) Lần lượt thay các giá trị của y vào (1) để tìm các giá trị tương ứng của x

\(\dfrac{x-7}{x+3}=\dfrac{x+3-10}{x+3}=1-\dfrac{10}{x+3}\)

Để \(x-7⋮x+3\Rightarrow10⋮x+3\)

\(\Rightarrow x+3=\left\{-10,-5,-2,-1;1;2;5;10\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{-13;-8;-5;-4;-2;-1;2;7\right\}\)

a/

Ta có

\(\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^o\)

=> A và B cùng nhìn OM dưới 1 góc \(90^o\) => A và B thuộc đường tròn đường kính OM => B; O; A; M cùng thuộc 1 đường tròn

b/

Ta có

\(\widehat{BAC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow AC\perp AB\)

Ta có

\(OM\perp AB\) (2 tt cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)

=> AC//OM

Xét tg vuông AMO có 

\(MO\perp AB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MA^2=MH.MO\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích của hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông BMO có

\(MO\perp AB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow OB^2=OH.MO\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích của hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Mà OB=OC (bán kính (O))

\(\Rightarrow OC^2=OH.MO\)

c/ 

Ta có

MA=MB (Hai tt cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm = nhau) (1)

AH=BH (2 tt cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm)

\(\Rightarrow AH=BH=\dfrac{AB}{2}\) (2)

Xét tg vuông AHO và tg vuông AMO có

\(\widehat{OAH}=\widehat{AMO}\) (cùng phụ với \(\widehat{AOM}\))

=> tg AHO đồng dạng với tg AMO (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{MA}=\dfrac{OA}{MO}\) (3)

Thay (1) và (2) vờ (3)

\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{AB}{2}}{MB}=\dfrac{OA}{MO}\Rightarrow\dfrac{AB}{2MB}=\dfrac{OA}{MO}\Rightarrow\dfrac{AB.MO}{2}-MB.OA\)

Gọi I' là giao của MO với (O), Nối AI'

Ta có

sđ cung AI' = sđ cung BI' (2 tt cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn chia đôi dây cung bị chặn bởi 2 tiếp điểm)

\(sđ\widehat{MAI'}=\dfrac{1}{2}sđcungAI'\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{BAI'}=\dfrac{1}{2}sđcungBI'\) (góc nội tiếp đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{MAI'}=\widehat{BAI'}\) => AI' là phân giác của \(\widehat{BAM}\) Mà AI cũng là phân giác của \(\widehat{BAM}\)

Ta có I và I' cùng thuộc MO => \(I\equiv I'\Rightarrow I\in\left(O\right)\) cố định khi M thay đổi

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+1\right)^2\right]^2+\left[\left(x-1\right)^2\right]^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)^2+\left(x^2-2x+1^2\right)=16\)

\(\Leftrightarrow x^4+4x^2+1+4x^3+4x+2x^2+x^4+4x^2+1-4x^3-4x+2x^2=16\)

\(\Leftrightarrow2x^4+12x^2+2=16\)

\(\Leftrightarrow x^4+6x^2-7=0\)

Đặt \(x^2=t\ge0\)

\(\Rightarrow t^2+6t-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-7\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)

\(t=1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\)