\(A=\dfrac{7}{1.8}+\dfrac{3}{5.8}+\dfrac{2}{5.7}+\dfrac{9}{7.16}+\dfrac{1}{16.17}=\)

\(=\dfrac{8-1}{1.8}+\dfrac{8-5}{5.8}+\dfrac{7-5}{5.7}+\dfrac{16-7}{7.16}+\dfrac{17-16}{16.17}=\)

\(=1-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{17}=\)

\(=1-\dfrac{2}{8}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{17}\)

\(\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-10b-a=9a-9b=9\left(a-b\right)⋮9\forall a;b\)

\(\Rightarrow\overline{8aba}+\overline{c14d}=\overline{d41c}\)

\(\Rightarrow c\le1\) => c=0 hoặc c=1

+ Nếu c=0

\(\Rightarrow\overline{8aba}+\overline{14d}=\overline{d410}\) 

\(\Rightarrow d\ge8\) nhưng \(d\le9\) => d=8 hoặc d=9

- Với d=8

\(\Rightarrow\overline{8aba}+148=8410\)

\(\Rightarrow8000+\overline{aba}+148=8410\Rightarrow\overline{aba}=262\)

- Với d=9

\(\Rightarrow\overline{8aba}+149=9410\)

\(\Rightarrow8000+\overline{aba}+149=9410\Rightarrow\overline{aba}=1261\) (loại)

+ Nếu c=1

\(\Rightarrow\overline{8aba}+\overline{114d}=\overline{d411}\) => d=9

\(\Rightarrow\overline{8aba}+1149=9411\)

\(\Rightarrow8000+\overline{aba}+1149=9411\Rightarrow\overline{aba}=262\)

a/

Xét tg ABD và tg ACE có

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung DE)

=> tg ABD đồng dạng với tg ACE (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\)

b/

\(\widehat{BEC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow CE\perp AB\)

\(\widehat{BDC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BD\perp AC\)

=> H là trực tâm của tg ABC \(\Rightarrow AH\perp BC\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

Xét tg ABC có

\(\widehat{B}+\widehat{C}=180^o-\widehat{A}=180^o-68^o=112^o\)

\(\widehat{KBC}=\dfrac{\widehat{ABx}-\widehat{B}}{2}=\dfrac{180^o-\widehat{B}}{2}=90^o-\dfrac{\widehat{B}}{2}\)

\(\widehat{KCB}=\dfrac{\widehat{ACy}-\widehat{C}}{2}=\dfrac{180^o-\widehat{C}}{2}=90^o-\dfrac{\widehat{C}}{2}\)

Xét tg KBC có

\(\widehat{BKC}=180^o-\left(\widehat{KBC}+\widehat{KCB}\right)=\)

\(=180^o-\left(90^o-\dfrac{\widehat{B}}{2}+90^o-\dfrac{\widehat{C}}{2}\right)=\dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=\dfrac{112^o}{2}=56^o\)

Ta có

\(BC=4CM\Rightarrow\dfrac{CM}{BC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{CM}{BM}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{CN}{AN}\)

=> MN//AB (Talet đảo trong tam giác)

a/ \(10^n+2^3=1000...08\) (n-1 chữ số 0)

Tổng các chữ số của \(10^n+2^3\) là \(1+8=9⋮9\Rightarrow10^n+2^3⋮9\)

b/ \(10^n+26=1000...026\) (n-2 chữ số 0)

\(1000...026⋮2\Rightarrow10^n+26⋮2\)

Tổng các chữ số của \(10^n+26\) là \(1+2+6=9⋮9\Rightarrow10^n+26⋮9\)

Mà 2 và 9 là 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow10^n+26⋮2.9=18\)

c/

\(9^{2n+1}=9.9^{2n}\)

\(9^{2n}=\left(9^2\right)^n=81^n\) có chữ số hàng đơn vị là 1

\(\Rightarrow9^{2n+1}=9.9^{2n}\) có chữ số hàng đơn vị là 9

\(\Rightarrow9^{2n+1}+1\) có chữ số hàng đơn vị là 0 \(\Rightarrow9^{2n+1}+1⋮10\)

Để \(\overline{PQ}x\overline{QP}=2071\) có chữ số hàng đơn vị là 1 thì có thể có các trường hợp sau

+ P=Q=1 thử 11x11=121 (loại)

+ P=Q=9 thử 99x99=9801 (loại)

+ P=3; Q=7 hoặc ngược lại

thử 37x73=73x37=2701 (chon)