a/

Ta có

\(\widehat{A}=90^o;\widehat{MHN}=90^o\) => A và H cùng nhìn MN dưới 1 góc vuông nên A; H thuộc đường tròn đường kính MN => A; M; H; N cùng thuộc 1 đường tròn

Xét tg vuông AHC có

\(MA=MC\Rightarrow HM=MA=MC=\dfrac{AC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg AMH cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MAH}=\widehat{MHA}\)

Mà

 \(\widehat{NAH}+\widehat{MAH}=\widehat{A}=90^o\)

\(\widehat{NHA}+\widehat{MHA}=\widehat{MHN}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{NAH}=\widehat{NHA}\) => tg NAH cân tại N => NA=HN (1)

Xét tg vuông ABH có

\(\widehat{NAH}+\widehat{B}=90^o\)

\(\widehat{NHA}+\widehat{NHB}=\widehat{AHB}=90^o\)

Mà \(\widehat{NAH}=\widehat{NHA}\) (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{NHB}\) => tg BHN cân tại N => NB=HN (2)

Từ (1) và (2) => NA=NB => N là trung điểm AB

b/

Ta có

NA=NB (cmt); MA=MC (gt) => MN là đường trung bình của tg ABC

=> MN//BC

Gọi O là giao của MN với AH. Xét tg ABH có

MN//BC => NO//BH

NA=NB (cmt)

=> OA=OH (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại) => O à trung điểm AH

Ta có

\(HE\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\left(gt\right)\) => HE//AC => HE//AF

\(HF\perp AC\left(gt\right);AB\perp AC\left(gt\right)\) => HF//AB => HF//AN

=> AEHF là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Gọi O' là giao của EF với AH => O'A=O'H (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => O' là trung điểm của AH

Mà O cũng là trung điểm của AH (cmt)

=> \(O'\equiv O\) => AH; MN; EF cùng đi qua O

Nếu bắn trúng tất cả thì số điểm là

15x3=45 điểm

Số điểm bị mất là

45-33=12 điểm

Mỗi viên bắn trượt số điểm mất đi là

3+1=4 điểm

Số viên bắn trượt là

12:4=3 viên

1/\(=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ca+4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ca-4ab+4a^2+4c^2+b^2+8ca-4bc-4ab=\)

\(=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

2/

Ta có

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge-2\left(ab+bc+ca\right)=2\)

\(\Rightarrow P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge18\)

\(\Rightarrow P_{min}=18\)

+ Nếu trong 2 số a;b có ít nhất 1 số chẵn

=> ab(a+b) chẵn \(\Rightarrow ab\left(a+b\right)⋮2\)

+ Nếu a;b cùng lẻ => a+b chẵn \(\Rightarrow ab\left(a+b\right)\) chẵn \(\Rightarrow ab\left(a+b\right)⋮2\)

\(\Rightarrow ab\left(a+b\right)⋮2\forall a;b\)

Gọi số cần tìm là \(\overline{Abc}\) theo đề bài

\(\overline{Abc}-A=53769\)

\(\Rightarrow100xA+\overline{bc}-A=53769\)

\(\Rightarrow99xA=53769-\overline{bc}\)

Ta thấy \(99xA⋮99\Rightarrow53769-\overline{bc}⋮99\)

\(53769-\overline{bc}=53757+12-\overline{bc}\)

Ta thấy \(53757=99x543⋮99\Rightarrow12-\overline{bc}⋮99\Rightarrow12-\overline{bc}=0\Rightarrow\overline{bc}=12\)

\(\Rightarrow99xA=53769-\overline{bc}=53769-12=53757\Rightarrow A=53757:99=543\)

Số cần tìm là 54312

\(B=\dfrac{7.2^{10}.3^{10}2.^{21}.3^6-2^{19}.2^{15}.3^{15}}{3^2.2^{15}.3^{15}.2^{13}-2^2.3^{15}.2^{26}}=\)

\(=\dfrac{2^{31}.3^{15}\left(7.3-2^3\right)}{2^{28}.3^{15}\left(3^2-1\right)}=\dfrac{2^{31}.13}{2^{31}}=13\)

Ta chứng minh đẳng thức 

\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) (1)

+ Với n=3

\(1^3+2^3++3^3=36\)

\(\left(1+2+3\right)^2=6^2=36\)

=> Đẳng thức đúng

+ Giả sử n=k đẳng thức trên cũng đúng

\(\Rightarrow1^3+2^3+3^3+...+k^3=\left(1+2+3+...+k\right)^2\)

+ Ta cần c/m với n=k+1 thì

\(1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[1+2+3+...+k+\left(k+1\right)\right]^2\)(2)

\(VT=1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+3+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3=\)

\(=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3=\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)^3}{4}=\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left[k^2+4k+4\right]}{4}=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\)

\(VP=\left[1+2+3+...+k+\left(k+1\right)\right]^2=\)

\(=\left\{\dfrac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]}{2}\right\}^2=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\)

Như vậy (2) có VT=VP => (2) đúng

Theo nguyên lý phương pháp quy nạp => (1) đúng

\(\Rightarrow1^3+2^3+3^3+...+10^3=\left(1+2+3+...+10\right)^2=\)

\(=\left[\dfrac{10\left(10+1\right)}{2}\right]^2=3025\)

Xét 3 số TN liên tiếp \(\left(n-1\right);n;\left(n+1\right)\) ta có

\(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)=n.\left(n^2-1\right)=n^3-n< n^3\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+\dfrac{1}{3.4.5}+...+\dfrac{1}{20.21.22}=\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3-1}{1.2.3}+\dfrac{4-2}{2.3.4}+\dfrac{5-3}{3.4.5}+...+\dfrac{22-20}{20.21.22}\right)=\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{3.4}-\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{20.21}-\dfrac{1}{21.22}\right)=\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{21.22}\right)=\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{2.21.22}< \dfrac{1}{2^2}\)

=999+998-100=1897

\(=\dfrac{2^{80}\left(1+2+2^2\right)}{2^{78}\left(1+2+2^2\right)}=2^2=4\)