a/

\(27^{81}=\left(3^3\right)^{81}=3^{241}\)

\(81^{27}=\left(3^4\right)^{27}=3^{108}\)

\(\Rightarrow27^{81}=3^{241}>3^{108}=81^{27}\)

b/

\(5^{60}=\left(5^3\right)^{20}=125^{20}\)

\(7^{40}=\left(7^2\right)^{20}=49^{20}\)

\(\Rightarrow5^{60}=125^{20}>49^{20}=7^{40}\)

c/

\(11^{102}=\left(11^2\right)^{51}=121^{51}>121^{50}>99^{50}\)

a/

\(A=3\left(1+3+3^2\right)+...+3^{118}\left(1+3+3^2\right)=\)

\(=13\left(3+3^4+3^7+...+3^{118}\right)⋮13\)

\(A=3\left(1+3+3^2+3^3\right)+...+3^{117}\left(1+3+3^2+3^3\right)=\)

\(A=40\left(3+3^5+3^9+...+3^{117}\right)⋮40\)

b/

\(A=3+3^2\left(1+3+3^2+...+3^{118}\right)=\)

\(=3+9\left(1+3+3^2+...+3^{118}\right)\) chia 9 dư 3 nên A không chia hết cho 9

c/

\(3A=3^2+3^3+3^4+...+3^{121}\)

\(\Rightarrow2A=3A-A=3^{121}-3\Rightarrow2A+3=3^{121}\)

\(2A+3=3^{121}=3.3^{120}=3.\left(3^4\right)^{30}=3.81^{30}\) có tận cùng là 3 nên 2A+3 không phải là số chính phương

Mượn 1 con trâu nên tổng số trâu là

19+1=20 con

Số trâu người con út được chia: \(20x\dfrac{1}{2}=10\) con

Số trâu người con giữa được chia \(20x\dfrac{1}{4}=5\) con

Số trâu người con lớn được chia \(20x\dfrac{1}{5}=4\) con

Dư 1 con lại đem trả

\(D=3+2^2...............2^{2008}\)

\(B=\left(2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7\right)+...+\left(2^{2006}+2^{2007}+2^{2008}\right)=\)

\(=2^2\left(1+2+2^2\right)+2^5\left(1+2+2^2\right)+2^{2006}\left(1+2+2^2\right)=\)

\(=7\left(2^2+2^5+2^8+...+2^{2003}+2^{2006}\right)⋮7\)

\(D=3+B\) mà \(B⋮7\) => D chia 7 dư 3

Bài 1

\(3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+n\left(n+1\right)=\)

\(=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+...+n.\left(n+1\right)\left[\left(n+2\right)-\left(n-1\right)\right]=\)

\(=1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5-...-\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\Rightarrow A=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

Bài 2

a/

Xét tg vuông AEM có

\(\widehat{EAM}+\widehat{AEM}=90^o\)

Ta có

\(\widehat{EAM}+\widehat{BAH}=\widehat{MAH}-\widehat{BAE}=180^o-90^o=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{BAH}\)

Xét tg vuông AEM và tg vuông BAH có

\(\widehat{AEM}=\widehat{BAH}\)

AE=AB (cạnh bên tg cân)

=> tg AEM = tg BAH (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow EM=AH\) (1)

Xét tg vuông ANF có

\(\widehat{FAN}+\widehat{AFN}=90^o\)

Ta có

\(\widehat{FAN}+\widehat{CAH}=\widehat{NAH}-\widehat{FAC}=180^o-90^o=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AFN}=\widehat{CAH}\)

Xét tg vuông AFN và tg vuông CAH có

\(\widehat{AFN}=\widehat{CAH}\)

AF=AC (cạnh bên tg cân)

=> tg AFN = tg CAH (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => HC=AN (2)

Từ (1) và (2) => EM+HC=AH+AN=NH

b/

Ta có

tg AFN = tg CAH (cmt) => FN=AH

Mà EM=AH (cmt)

=> EM=FN

\(EM\perp AH\left(gt\right);FN\perp AH\left(gt\right)\) => EM//FN (cùng vuông góc với AH)

=> ENFM là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

=> EN//FM (trong hbh (2 cạnh đối // với nhau)

a/

Ta có

HI=CI (gt); AI=KI (gt) => ACKH là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> AC//HK (Trong hbh 2 cạnh đối // với nhau)

b/

Ta có

\(HM\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\left(gt\right)\) => HM//AC

Mà HK//AC (cmt)

\(\Rightarrow HM\equiv HK\) (Từ 1 điểm ở ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho) => M; K; H thẳng hàng

=> AC//MK => MNCK là hình thang

Ta có

AC//MK => AN//MH

\(AB\perp AC\left(gt\right);HN\perp AC\left(gt\right)\) => AB//HN => AM//HN

=> AMHN là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

\(\widehat{A}=90^o\)

=> AMHN là hình chữ nhật => AH=MN (trong HCN hai đường chéo bằng nhau)

Mà ACKH là hbh (cmt) => AH=CK (cạnh đối hbh)

=> MN=CK

=> hình thang MNCK có MN = CK => MNCK là hình thang cân

c/

Xét tg AHC có

OA=OH (Trong hình chữ nhật 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

HI=CI (gt)

=> D là trọng tâm của tg AHC \(\Rightarrow AD=\dfrac{2}{3}AI\)

Xét hình bình hành ACKH có

\(AI=KI\) (Trong hình bh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) \(\Rightarrow AI=\dfrac{1}{2}AK\)

\(\Rightarrow AD=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AK=\dfrac{1}{3}AK\Rightarrow AK=3AD\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+3>0\left(x\ne\pm5\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>3\end{matrix}\right.\)

Xét tg ABC có

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\left(gt\right)\) => MN//BC (Talet đảo trong tg)

Mà \(MN\in\left(DMN\right)\)

=> BC//(DMN)

\(A=-\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}-\dfrac{1}{4.5}-...-\dfrac{1}{9.10}\)

\(\Rightarrow-A=\dfrac{3-2}{2.3}+\dfrac{4-3}{3.4}+\dfrac{5-4}{4.5}+...+\dfrac{10-9}{9.10}=\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}=\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow A=-\dfrac{2}{5}\)

Hiệu giữa 2 lần tuổi mẹ và tổng tuổi 2 con là

\(2x32-\left(6+2\right)=56\) tuổi

Mỗi năm mỗi người thêm 1 tuổi nên hiệu giữa 2 lần tuổi mẹ và tổng tuổi 2 con không thay đổi

Tại thời điểm tuổi mẹ gấp rưỡi tổng tuổi 2 con Chia tổng tuổi 2 con lúc sau thành 2 phần thì tuổi mẹ khi đó là 3 phần

2 lần tuổi mẹ khi đó là

2x3=6 phần

Hiệu số phần bằng nhau là

6-2=4 phần

Giá trị 1 phần là

56:4=14 tuổi

2 lần tuổi mẹ khi đó là

14x6=84 tuổi

Tuổi mẹ khi đó là

84:2=42 tuổi

Số năm sau đó để tuổi mẹ gấp rưỡi tổng tuổi 2 con là

42-32=10 năm