Theo đề bài

\(a-6⋮14\Rightarrow a-6⋮2;a-6⋮7\) => a-6 chẵn => a chẵn \(\Rightarrow a⋮2\)

Ta có

a chẵn \(\Rightarrow a=2k\Rightarrow a-6=2k-6⋮7\Rightarrow2\left(k-3\right)⋮7\Rightarrow k-3⋮7\)

\(\Rightarrow k=\left\{3;10;17;24....\right\}\)

\(\Rightarrow k⋮4\Rightarrow a=2k⋮4\)

Gọi số cần tìm là \(\overline{abcd}\) Theo đề bài

\(\overline{abcd}-\overline{ab}=1188\)

\(\Rightarrow100x\overline{ab}+\overline{cd}-\overline{ab}=1188\)

\(\Rightarrow99x\overline{ab}=1188-\overline{cd}\) (1)

Ta có

\(99x\overline{ab}⋮99\Rightarrow1188-\overline{cd}⋮99\)

Mà \(1188⋮99\Rightarrow\overline{cd}⋮99\Rightarrow\overline{cd}=0\)  hoặc \(\overline{cd}=99\)

+ Với \(\overline{cd}=0\) thay vào (1) \(\Rightarrow99x\overline{ab}=1188\Rightarrow\overline{ab}=1188:99=12\)

\(\Rightarrow\overline{abcd}=1200\)

+ Với \(\overline{cd}=99\) thay vào (1) \(\Rightarrow99x\overline{ab}=1188-99\Rightarrow\overline{ab}=11\)

\(\Rightarrow\overline{abcd}=1199\)

a/

\(ME\perp AB\) (gt)

\(AC\perp AB\Rightarrow AF\perp AB\)

=> ME//AF

\(AB\perp AC\Rightarrow AE\perp AC\)

=> MF//AE

=> AEMF là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Ta có \(\widehat{A}=90^o\)

=> AEMF là HCN (hbh có 1 góc vuông là HCN)

b/

Ta có

MF

Xét tg vuông ABC có

MB=MC (gt); MF//AE => MF//AB 

=> AF=BF (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Ta có

MF=IF (gt)

=> AMCI là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Ta có 

\(MF\perp AC\Rightarrow MI\perp AC\)

=> AMCI là hình thoi (hbh có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

c/

Ta có

AI//CM (cạnh đối hình thoi) => AI//BC => ABCI là hình thang

Xét tứ giác ABMI có

AI//BC (cmt) => AI//BM

MF//AB (cmt) => MI//AB

=> ABMI là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Để ABCI là hình thang cân => AB=CI (1)

Ta có

AB=MI (cạnh đối hình bình hành ABMI) (2)

AM=CI (cạnh đối hình thoi AMCI) (3)

Từ (1) (2) (3) => AB=AM=MI=CI

Xét tg vuông ABC có

BM=CM \(\Rightarrow AM=BM=CM=\dfrac{BC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> AB=AM=BM => tg ABM là tg đều \(\Rightarrow\widehat{B}=60^o\)

Để ABCI là hình thang cân thì tg vuông ABC có \(\widehat{B}=60^o\)

d/

Xét tứ giác ADBM có

DE=ME (gt)

AE=BE (gt)

=> ADBM là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> AD//BM (cạnh đối hbh) => AD//BC

Ta có

AI//CM (cạnh đối hình thoi AMCI)

=> A;D;I thẳng hàng (từ 1 điểm ngoài đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)

Ta có

AD=BM (cạnh đối hbh ADBM)

AI=CM (cạnh đối hình thoi AMCI)

BM=CM (gt)

=> AD=AI => A là trung điểm DI

Số ngày 3 bạn gặp nhau lần tiếp theo = BCNN(4;6;7)=84

Lần gặp tiếp theo vào CN vì Tuấn chỉ đến vào mỗi CN

8.

Số bút trong mỗi hộp = UC(28;36)={2;4}

Do số bút trong mỗi hộp lớn hơn 2

=> Số bút trong mỗi hộp là 4 cái

9.

Khoảng cách lớn nhất giữa 2 cây liên tiếp = UCLN(132;72)=12 m

Chu vi mảnh vương là

(132+72)x2=408 m

Số cây là

408:12=34 cây

10.

Để số cây là ít nhất thỏa mãn đề bài thi khoảng cách giữa mỗi cây là UCLN (120;80) = 40

Chu vi mảnh vườn là

(120+80)x2=400 m

Số cây là

400:40=10 cây

11.

Theo đề bài

\(130-10=120⋮a\)

\(172-12=160⋮a\)

\(\Rightarrow a=UC\left(120;160\right)=\left\{2;4;5;8;10;20;40\right\}\)

Do a là số chia nên a phải lớn hơn số dư

\(\Rightarrow a>12\Rightarrow a=\left\{20;40\right\}\)

Ta có

\(DG\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{BGD}=90^o\)

\(DF\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{BFD}=90^o\)

=> G và F cùng nhìn BD dưới 1 góc vuông => BGDF là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DGF}=\widehat{DBF}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung DF) (1)

Ta có

\(BD\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{BDC}=90^o\)

\(CE\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{BEC}=90^o\)

=> E và D cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông => BEDC là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DBF}=\widehat{DEC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung DC) (2)

Ta có

GD//CE (cùng vg với AB) \(\Rightarrow\widehat{EDG}=\widehat{DEC}\) (góc sole trong) (3)

Từ (1) (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{DGF}=\widehat{EDG}\) => tg IDG cân tại I

=> IG=ID (4)

Ta có

\(\widehat{DGF}+\widehat{EGF}=\widehat{DGE}=90^o\)

\(\widehat{DEC}+\widehat{DEG}=\widehat{CEG}=90^o\)

Mà từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{DGF}=\widehat{DEC}\)

\(\Rightarrow\widehat{EGF}=\widehat{DEG}\) => tg IGE cân tại I => IG=IE (5)

Từ (4) và (5) => ID=IE

1/

Xét tg vuông AHD và tg vuông EHD có

HA=HD (gt); DH chung => tg AHD = tg EHD (hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{DEH}\)

Xét tg vuông AHD có

\(\widehat{DAH}=90^o-\widehat{ADH}=90^o-30^o=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{DEH}=60^o\)

Xét tg ADE có

\(\widehat{ADE}=180^o-\left(\widehat{DAH}+\widehat{DEH}\right)=180^o-\left(60^o+60^o\right)=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{DEH}=\widehat{ADE}=60^o\)

=> tg ADE là tg đều

2/

Xét tg vuông AHD có

\(AH=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{8}{2}=4cm\) (trong tg vuông cạnh đối diện góc \(30^o\) bằng nửa cạnh huyền)

\(\Rightarrow AH=EH=4cm\Rightarrow AH+EH=AE=8cm\)

\(DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}cm\) (Pitago)

\(\Rightarrow S_{ADE}=\dfrac{1}{2}.AE.DH=\dfrac{1}{2}.8.4\sqrt{3}=16\sqrt{3}cm^2\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=\dfrac{\left(AB+CD\right).AH}{2}=\dfrac{\left(7+10\right).4}{2}=34cm^2\)

Ta có

\(E\in MN\) mà \(MN\in\left(OMN\right)\Rightarrow E\in\left(OMN\right)\)

\(O\in\left(OMN\right)\)

\(\Rightarrow EO\in\left(OMN\right)\)

Ta có

\(E\in BD\) mà \(BD\in\left(BCD\right)\Rightarrow E\in\left(BCD\right)\)

\(O\in\left(BCD\right)\)

\(EO\in\left(BCD\right)\)

Trong (BCD) kéo dài EO cắt CD tại K

=> \(K\in\left(OMN\right);K\in CD\) => K chính là giao của CD với (OMN)

Số bi vàng là

20-9-6=5 viên

Trường hợp lấy ra số bi nhiều nhất mà vẫn chưa được viên màu đỏ là

9 viên xanh + 5 viên vàng = 14 viên

Vậy nếu lấy 15 viên thì chắc chắn có ít nhất 1 viên màu đỏ

Nên số lần lấy (mỗi lần 5 viên) ít nhất để có 1 viên màu đỏ là

15:5=3 (lần)