a/

\(A=4^2.4^{37}+4^2.4^{38}+4^2.4^{39}=4^2\left(4^{37}+4^{38}+4^{39}\right)=\)

\(=2.8.\left(4^{37}+4^{38}+4^{39}\right)⋮8\)

b/

\(B=10^7\left(1+10+10^2\right)=10.10^6.111=\)

\(=5.10^6.222⋮222\)

c/

\(C=5^{2006}\left(1+5+5^2\right)=5^{2006}.31⋮31\)

a/

Ta có

AB//CD (cạnh đối hbh) => BE//CD

CE//BD (gt)

=> BECD là hình bh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

b/

Ta có

BE=CD (cạnh đối hbh)

AB=CD (cạnh đối hbh)

=> BE=AB => BF là đường trung tuyến của tg AEF 

Ta có

CF//BD (gt)

AD//BC (cạnh đối hbh) => DF//BC

=> BCFD là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Ta có

BC=AD (cạnh đối hbh)

BC=DF (cạnh đối hbh)

=> AD=DF => DE là đường trung tuyến của tg AEF

Ta có

BD=CE (cạnh đối hbh)

BD=CF (cạnh đối hbh)

=> CE=CF => AC là trung tuyến của tg AEF

=> AC; BF; DE đồng quy (trong tg 3 đường trung tuyến đồng quy)

Gọi chiều dài đoàn tàu ngắn là x thì chiều dài đoàn tàu dài là 2x

Giả sử 1 trong 2 đoàn tàu đứng yên thì vận tốc của đoàn tàu còn lại là 

74+70=144 km/h

Hai đoàn tàu đi ngược chiều nhau mất 6 s là khoảng thời gian khi đầu của 2 đoàn tàu bắt đầu gặp nhau cho đến khi đuôi của 2 đoàn tàu gặp nhau

Khi đó đoàn tàu được coi là chuyển động đã đi được quãng đường bằng tổng chiều dài của 2 đoàn tàu và là

x+2x=3x

Ta có phương trình

\(\dfrac{3x}{144}=\dfrac{6}{3600}=\dfrac{1}{600}\Leftrightarrow1800x=144\Leftrightarrow x=0,08km=80m\)

Chiều dài đoàn tàu dài là

2.80=160 m

Gọi số bộ ghép hình là x; số búp bê là y và số gấu bông là z ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=14\\8x+4y+5z=92\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8x+8y+8z=112\left(1\right)\\8x+4y+5z=92\left(2\right)\end{matrix}\right.\)  Trừ 2 vế của (1) cho (2)

\(\Rightarrow4y+3z=20\Leftrightarrow y=\dfrac{20-3z}{4}=5-\dfrac{3z}{4}\) 

Do \(y\in\) N* => 4 phải là UC(3z)

Đồng thời \(y>0\Rightarrow5-\dfrac{3z}{4}>0\Leftrightarrow3z< 20\Leftrightarrow z< \dfrac{20}{3}\Rightarrow z\le6\)

=> Giá trị z thỏa mãn là z=4

a/

Ta có

DC=AD+BC (gt)

CI=BC (gt)

=> DC=AD+CI

Ta có

DC=DI+CI

=> AD=DI => tg ADI cân tại D \(\Rightarrow\widehat{DAI}=\widehat{DIA}\)

Mà \(\widehat{DAI}=\widehat{BAI}\)

\(\Rightarrow\widehat{DIA}=\widehat{BAI}\) Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AB//CD => ABCD là hình thang

b/

Ta có

CI=BC (gt) => tg BCI cân tại C \(\Rightarrow\widehat{CBI}=\widehat{CIB}\)

Ta có

AB//CD \(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{CIB}\) (góc so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{CBI}=\widehat{ABI}\) => BI là phân giác của góc B

Q=1.2.(3-1)+2.3.(4-1)+3.4.(5-1)+...+19.20.(21-1)=

=(1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+19.20.21)-(1.2+2.3+3.4+...+19.20)

Đặt

A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+19.20.21

4A=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+19.20.21.4=

=1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+19.20.21.(22-18)=

=1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5+3.4.5.6-...-18.19.20.21+19.20.21.22=

=19.20.21.22

\(A=\dfrac{19.20.21.22}{4}=5.19.21.22\)

Đặt 

B=1.2+2.3+3.4+...+19.20

3B=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+19.20.3=

=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+19.20.(21-18)=

=1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5-...-18.19.20+19.20.21=

=19.20.21

\(B=\dfrac{19.20.21}{3}=7.19.20\)

Q=A-B

Gọi số cần tìm là \(\overline{ab26}\) theo đề bài

\(102x\overline{ab}=\overline{ab26}\)

\(102x\overline{ab}=100x\overline{ab}+26\)

\(2x\overline{ab}=26\Rightarrow\overline{ab}=26:2=13\)

Số cần tìm là 1326

a/

Xét tg ABC có

\(AB\perp AC\) (gt)

\(ME\perp AC\) (gt)

=> ME//AB (cùng vg với AC)

\(\Rightarrow\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{CM}{BM}\) (Talet) Mà 

CM = BM \(\Rightarrow\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{CM}{BM}=1\Rightarrow CE=AE\) => E là trung điểm AC

C/m tương tự ta cũng có D là trung điểm AB

b/

Xét tg ABC có

AD=BD (cmt); AE=CE (cmt) => DE là đường trung bình của tg ABC

=> DE//BC => DE//BM

\(\Rightarrow DE=\dfrac{BC}{2}\)

Ta có

\(BM=CM=\dfrac{BC}{2}\)

=> DE=BM

=> BDEM là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối //  và = nhau là hình bình hành)

c/

a/

\(4^{30}=\left(2^2\right)^{30}=2^{60}=2^{30}.2^{30}=\left(2^2\right)^{15}.2^{30}=4^{15}.2^{30}\)

\(3.24^{10}=3.3^{10}.\left(2^3\right)^{10}=3^{11}.2^{30}< 3^{15}.2^{30}\)

\(\Rightarrow4^{30}=4^{15}.2^{30}>3^{15}.2^{30}>3^{11}.2^{30}=3.24^{10}\)

b/

\(=\dfrac{2^2-1^2}{1^2.2^2}+\dfrac{3^2-2^2}{2^2.3^2}+\dfrac{4^2-3^2}{3^2.4^2}+...+\dfrac{10^2-9^2}{9^2.10^2}=\)

\(=1-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{9^2}-\dfrac{1}{10^2}=\)

\(=1-\dfrac{1}{10^2}< 1\)

Gọi số cần tìm là \(\overline{32ab}\) theo đề bài

\(201x\overline{ab}=\overline{32ab}\)

\(201x\overline{ab}=3200+\overline{ab}\)

\(200x\overline{ab}=3200\)

\(\overline{ab}=3200:200=16\)

Số cần tìm là 3216