a/ 

\(MP\perp AC;NA\perp AC\) => MP//NA

\(MN\perp AB;PA\perp AB\) => MN//PA

=> ANMP là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Ta có \(\widehat{A}=90^o\)

=> ANMP là hình chữ nhật (hbh có 1 góc vuông là HCN)

b/

MN//PA (cmt) => MN//AC

MB=MC (gt)

=> NA=NB (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

C/m tương tự cũng có PA=PC

Ta có

MP//NA (cmt) => MP//NB

NA=NB; PA=PC => NP là đường trung bình của tg ABC

=> NP//BC => NP//MB

=> BMPN là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c/

Xét HCN ANMP có

FM=FA (trong HCN 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

EM=EB (gt)

=> EF là đường trung bình của tg MAB => EF//AB

=> ABEF là hình thang

Ta có

MB=MC => AM=MB=MC=BC/2 (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Ta có

FM=FA=AM/2

EB=EM=BM/2

=> FA=EB

=> ABEF là hình thang cân

d/

\(3A=5+\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3^2}+...+\dfrac{5}{3^{19}}\)

\(2A=3A-A=5-\dfrac{5}{3^{20}}\)

\(A=\dfrac{5.3^{20}-5}{2.3^{20}}\)

Tích của các thừa số lẻ là số lẻ. Trong tích có thừa số có chữ số tận cùng là 5 thì tích có chữ số tận cùng là 5

=> 1.3.5....99 có chữ số tận cùng là 5

Trong 1 tích nếu có 1 thừa số có chữ số tận cùng là 0 thì tích có chữ số tận cùng là 0

=> 2.4.6....98 có chữ số tận cùng là 0

=> S có chữ số tận cùng là 5

\(2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{2024}\)

\(A=2A-A=2^{2024}-2=\left(2^4\right)^{506}-2\)

\(\left(2^4\right)^{506}\) có chữ số tận cùng là 6

=> A có chữ số tận cùng là 4

Số tiền An mua 6 bút chì và 8 thước kẻ là

78000x2=156000 đồng

Giá tiền 1 cái thước kẻ là

156000-144000=12000 đồng

Giá tiền 1 cái bút chì là

(78000-4x12000):3=10000 đồng

I là điểm nào?

\(=1-1-\dfrac{5}{6}+1+\dfrac{7}{12}-1-\dfrac{9}{20}+1+\dfrac{11}{30}-1-\dfrac{13}{42}+1+\dfrac{15}{56}-1-\dfrac{17}{72}+1+\dfrac{19}{90}=\)

\(=1-\dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{12}-\dfrac{9}{20}+\dfrac{11}{30}-\dfrac{13}{42}+\dfrac{15}{56}-\dfrac{17}{72}+\dfrac{19}{90}=\)

\(=1-\dfrac{2+3}{2x3}+\dfrac{3+4}{3x4}-\dfrac{4+5}{4x5}+\dfrac{5+6}{5x6}-\dfrac{6+7}{6x7}+\dfrac{7+8}{7x8}-\dfrac{8+9}{8x9}+\dfrac{9+10}{9x10}=\)

\(=1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{9}=\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{5}\)

Xét tg AGB và tg AGC có

AB=AC

AG chung

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)

=> tg AGB = tg AGC (c.g.c)

b/

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

\(CI\perp BC\)

=> GM//CI mà MB=MC => GB=GI (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Xét tg BCI có

MB=MC; GB=GI (cmt) => GM là đường trung bình của tg BCI

\(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{2}CI\Rightarrow CI=2GM\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-4\left(x+y\right)=\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-4\right)\)

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng cho trước có độ dài ngắn nhất là khoảng cách từ điểm đã cho đến chân đường vuông góc của đường thẳng đi qua điểm đã cho với đường thẳng cho trước

Gọi đường thẳng đi qua M và vuông góc với y là g=ax+b

=> \(2.a=-1\Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow g=a.x+b\Leftrightarrow2=-\dfrac{1}{2}.4+b\Rightarrow b=4\)

=> đồ thị hàm số đi qua M vuông góc với y là \(g=-\dfrac{1}{2}x+4\)

Để 2 đồ thị trên cắt nhau

\(\Rightarrow2x+3=-\dfrac{1}{2}x+4\Rightarrow x=\dfrac{2}{5}\) Thay \(x=\dfrac{2}{5}\) vào y=2x+3

\(\Rightarrow y=2.\dfrac{2}{5}+3=\dfrac{19}{5}\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{2}{5};\dfrac{19}{5}\right)\)