Chỗ vị trí C mình sửa lại là \(sđ\stackrel\frown{AC}=90^o-arc\sin\dfrac{CD}{AB}\) nhé.

 a) Ta thấy OI//AH//BK \(\left(\perp CD\right)\).

 Xét hình thang ABKH (AH//BK), O là trung điểm AB. OI//AH \(\left(I\in HK\right)\) nên I là trung điểm HK.

 b) Hạ \(CP\perp AB\) tại P, \(DQ\perp AB\) tại Q. Khi đó IE//CP//DQ \(\left(\perp AB\right)\). 

 Xét hình thang CDQP (CP//DQ) có I là trung điểm CD (hiển nhiên), IE//CP và \(E\in PQ\) nên IE là đường trung bình của hình thang CDQP \(\Rightarrow IE=\dfrac{CP+DQ}{2}\)

 Lại có \(S_{ACB}=\dfrac{1}{2}AB.CP\), \(S_{ADB}=\dfrac{1}{2}.AB.DQ\) 

 \(\Rightarrow S_{ACB}+S_{ADB}=AB.\dfrac{CP+DQ}{2}=AB.IE\) (đpcm)

 c) Ta có \(S_{AHKB}=\dfrac{AH+BK}{2}.HK=OI.HK\) 

 Do dây CD có độ dài không đổi nên khoảng cách từ O đến dây CD là OI cũng không đổi. Như vậy ta chỉ cần tìm vị trí của C để HK lớn nhất. 

 Thật vậy, dựng hình bình hành ABLH. Khi đó vì BK//AH nên \(L\in BK\). Đồng thời ta luôn có \(HK\le HL=AB\), suy ra \(S_{AHKB}\le OI.AB\).

 Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow HK=HL\)  \(\Leftrightarrow K\equiv L\) \(\Leftrightarrow\) AHKB là hình bình hành \(\Leftrightarrow\) HK//AB hay CD//AB \(\Rightarrow OI\perp AB\). Vậy C là điểm sao cho \(OI\perp AB\).

 (Nếu muốn tìm cụ thể vị trí của C, thì mình nói luôn nó là điểm C sao cho \(sđ\stackrel\frown{AC}=180^o-2arc\cos\left(\dfrac{CD}{AB}\right)\) nhé. Chứng minh cái này dễ, mình nhường lại cho bạn.)

 Xin lỗi em, giờ anh mới đọc được.

 Nếu một số mà không chia hết cho 3 nổi thì làm sao nó chia hết cho 72? (vì \(72⋮3\) mà)

 Ta sẽ chứng minh cần ít nhất 21 người. Thật vậy, nếu có ít nhất 21 người tham gia đường đua thì do có tổng cộng 10 con đường khác nhau nên theo nguyên lí Diriclet tồn tại 1 con đường có từ 3 người tham gia trở lên.

 Với trường hợp có 20 người tham gia, ta chỉ ra 1 trường hợp không thỏa mãn: 

  Ta dễ dàng lập những sơ đồ tương tự để chứng minh nếu có \(\le19\) người tham gia thì không đảm bảo điều kiện đề bài.

 Như vậy cần có ít nhất 21 người tham gia để đảm bảo điều kiện bài toán được thỏa mãn.

Tổng của tử số và mẫu số ở phân số sau là:

      \(43+2=45\)

Tổng số phần bằng nhau là:

   \(2+1=3\) (phần)

Tử số là:

   \(45:3\times1=15\)

Mẫu số là:

    \(45-15=30\)

Vậy phân số lúc sau là:

    \(\dfrac{15}{30}\)

Do đó phân số ban đầu là:

    \(\dfrac{15}{28}\)

                       Đáp số: \(\dfrac{15}{28}\)

Ta có \(B\ge\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\) \(=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{xy}\right)^2}{2}\)

Lại có \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow B\ge\dfrac{\left(1+4\right)^2}{2}=\dfrac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy GTNN của B là \(\dfrac{25}{2}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Cách 2: Ta thấy \(10=9+1\) nên 

\(10^{2022}=\left(9+1\right)^{2022}\) \(=\left(9+1\right)\left(9+1\right)...\left(9+1\right)\) (2022 lần)

\(=9Q+1\) (Q là 1 biểu thức).

 Vậy \(10^{2022}-1=9Q⋮9\), cũng suy ra đpcm.

Xét biểu thức \(P=10^0+10^1+10^2+...+10^{2021}\)

\(\Rightarrow10P=10^1+10^2+10^3+...+10^{2022}\)

\(\Rightarrow9P=10^{2022}-1\)

\(\Rightarrow10^{2022}+8=9P+9⋮9\)

Vậy ta có đpcm.

 Ta thấy tổng các chữ số của số \(\overline{ababab4}\) là \(a+b+a+b+a+b+4\)

\(=3a+3b+4\).

 Do \(3a,3b⋮3\) và 4 không chia hết cho 3 nên \(3a+3b+4⋮̸3\). Điều này có nghĩa là số \(\overline{ababab4}\) không thể chia hết cho 3 dù a, b có là chữ số nào. Vì thế, không tồn tại chữ số a, b nào để \(\overline{ababab4}\) chia hết cho 72.

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(x^2,y^2,z^2\) , ta có:\(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(xyz\right)^2\le\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^3}{27}\) \(=\dfrac{1}{27}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\le xyz\le\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\)

 Vậy \(max_{xyz}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\). Dấu "=" xảy ra khi \(x^2=y^2=z^2\) 

\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\) hoặc \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\) và các hoán vị.