\(15\in S,99\in S\)

a) Do tam giác AEB vuông cân tại A nên \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EAB}=90^o\\AE=AB\end{matrix}\right.\)

Ta thấy \(\widehat{MEA}=\widehat{BAH}\) vì chúng cùng phụ với \(\widehat{EAM}\)

Xét 2 tam giác HAB vuông tại H và MEA vuông tại M, ta có:

\(AE=AB\left(cmt\right),\widehat{MEA}=\widehat{BAH}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta HAB=\Delta MEA\left(ch-gn\right)\) \(\Rightarrow AH=ME\)     (1)

Tương tự, ta cũng có \(\Delta HAC=\Delta NFA\Rightarrow HC=AN\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EM+HC=AH+AN\) hay \(EM+HC=HN\) (đpcm)

b) Từ \(\Delta HAC=\Delta NFA\Rightarrow AH=NF\)

Từ đó suy ra \(ME=NF\left(=AH\right)\)

Xét tam giác MNE và NMF, ta có:

\(ME=NF\left(cmt\right),\widehat{EMN}=\widehat{FNM}\left(=90^o\right)\), MN là cạnh chung.

\(\Rightarrow\Delta MNE=\Delta NMF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ENM}=\widehat{FMN}\) \(\Rightarrow\) EN//FM (2 góc so le trong bằng nhau)

Ta có đpcm.

a) Ta thấy \(OE=OF\Rightarrow\) O thuộc trung trực của EF.

 Mặt khác, theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau, \(ME=MF\), suy ra M cũng nằm trên trung trực của EF.

 \(\Rightarrow\)OM là trung trực của EF. Mà OM cắt EF tại H nên H là trung điểm EF (đpcm)

b) Ta thấy \(\widehat{OAM}+\widehat{OFM}=90^o+90^o=180^o\)  nên tứ giác OAMF nội tiếp hay 4 điểm O, M, A, F cùng thuộc 1 đường tròn.

c) Vì OM là trung trực EF nên \(OM\perp EF\) tại H \(\Rightarrow\widehat{MHK}=90^o\)

Từ đó dễ thấy tứ giác AMHK nội tiếp \(\Rightarrow OA.OK=OH.OM\)

Mà \(OH.OM=OE^2=R^2\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow OA.OK=R^2\) (đpcm)

Độ dài cạnh của hình lập phương là \(\sqrt[3]{729}=9\left(cm\right)\)

Diện tích xung quanh của hình lập phương là \(4.9^2=324\left(cm^2\right)\)

Diện tích toàn phần của hình lập phương là \(6.9^2=486\left(cm^2\right)\)

Thể tích của hình lập phương đề bài đã cho là \(729cm^3\)

 Dễ thấy \(\widehat{HKF}=\widehat{HCM}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\))

 Xét tam giác HKF và HCM, có: \(\widehat{KHF}=\widehat{CHM}\left(=90^o\right)\) và \(\widehat{HKF}=\widehat{HCM}\) (cmt)

 Suy ra \(\Delta HKF~\Delta HCM\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{HK}{HC}=\dfrac{HF}{HM}\) \(\Rightarrow HK.HM=HC.HF\)

 Mà \(HC.HF\le\dfrac{\left(HC+HF\right)^2}{4}=\dfrac{FC^2}{4}\) (BĐT Cô-si), suy ra \(HK.HM\le\dfrac{FC^2}{4}\) (đpcm)

 Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow HC=HF\) \(\Leftrightarrow\) H là trung điểm CF \(\Leftrightarrow\Delta KFC\) cân tại K.

a) \(A=\left\{2k+1|k\inℕ;6\le k\le14\right\}\)

b) \(B=\left\{2l|l\inℕ;11\le l\le21\right\}\)

c) \(C=\left\{4m+3|m\inℕ;1\le m\le6\right\}\)

d) \(D=\left\{n^2|n\inℕ;2\le n\le7\right\}\)

\(Z=\dfrac{3a+4}{a+2}=\dfrac{3\left(a+2\right)-2}{a+2}=3-\dfrac{2}{a+2}\)

Vì \(3\inℤ\) nên để \(Z\inℤ\) thì \(\dfrac{2}{a+2}\inℤ\) hay \(a+2\inƯ\left(2\right)\)

\(\Rightarrow a+2\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\) \(\Rightarrow a\in\left\{-3;-1;-4;0\right\}\)

Vậy để \(Z\inℤ\) thì \(a\in\left\{-4;-3;-1;0\right\}\)

a) Số phần tử của tập H là \(\left(500-0\right):5+1=101\) (phần tử)

b) Tổng các phần tử của tập H là \(\dfrac{\left(500+0\right).101}{2}=25250\)

c) Phần tử thứ 80 của tập H là \(0+\left(80-1\right).5=395\)

d) Gọi \(n\) là vị trí của phần tử 350 thì ta được:

 \(0+\left(n-1\right).5=350\Leftrightarrow n-1=70\Leftrightarrow n=71\)

 Vậy phần tử 350 đứng thứ 71 trong tập H.

 Gọi K là hình chiếu của M lên AC. Xét tam giác MBH vuông tại H và MCK vuông tại K, ta có:

\(MB=MC\) (M là trung điểm BC); \(\widehat{B}=\widehat{C}\) (tam giác ABC cân tại A)

 \(\Rightarrow\Delta MBH=\Delta MCK\left(ch-gn\right)\)  \(\Rightarrow MH=MK\)

 Ta thấy MK chính là khoảng cách từ AC đến M, đồng thời MK bằng MH là bán kính của đường tròn (M; MH) nên AC tiếp xúc với (M) (đpcm)

 Vì n là số tự nhiên không chia hết cho 2 hay 3 nên n có dạng \(6k+1\) hoặc \(6k+5\). 

 Nếu \(n=6k+1\) thì hiển nhiên \(n^2-1⋮6\) và \(3n=18k+3\) chia 6 dư 3, suy ra \(4n^2+3n+5=4\left(n^2-1\right)+3n+9\) chia hết cho 6.

 Nếu \(n=6k+5\) thì \(n^2-1⋮6\) (cái này dễ cm nên mình không trình bày ở đây) và \(3n=18k+15\) chia 6 dư 3, suy ra \(4n^2+3n+5=4\left(n^2-1\right)+3n+9\) chia hết cho 6.

 Ta có đpcm.