Đề bài yêu cầu thì thế bạn? Nếu là viết lại tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng thì làm như thế này nhé:

 \(B=\left\{n\inℕ|5\le5n\le30\right\}\)

 Dễ thấy ABDC là hình thang. Vì O, I lần lượt là trung điểm của AB, CD nên OI là đường trung bình của hình thang ABDC.

 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OI//AC//BD\Rightarrow OI\perp AB\left(tạiO\right)\\OI=\dfrac{AC+BD}{2}=\dfrac{CM+DM}{2}=\dfrac{CD}{2}=R\end{matrix}\right.\) với R là bán kính của đường tròn \(\left(CD\right)\).

 Từ đó suy ra AB tiếp xúc (I) tại O. (đpcm)

Đặt \(A=\sqrt{a+1}+\sqrt{a+3}\)

\(\Rightarrow A^2=2a+4+2\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+3\right)}\)

Đặt \(B=2\sqrt{a+2}\)

\(\Rightarrow B^2=4a+8\)

Xét hiệu \(B^2-A^2=2a+4-2\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+3\right)}\)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có \(2a+4=\left(a+1\right)+\left(a+3\right)\) \(>2\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+3\right)}\) 

 (Dấu "=" không thể xảy ra vì khi đó sẽ suy ra đẳng thức vô lí là \(1=3\))

 Từ đó suy ra \(B^2-A^2>0\) \(\Leftrightarrow B^2>A^2\), và do A, B dương nên suy ra \(B>A\). Nói cách khác, \(2\sqrt{a+2}>\sqrt{a+1}+\sqrt{a+3}\)

a) Đặt \(P=\left(x^2-7x+12\right)\left(x^2-15x+56\right)-60\)

\(P=\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-7\right)\left(x-8\right)-60\)

\(P=\left(x-3\right)\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-7\right)-60\)

\(P=\left(x^2-11x+24\right)\left(x^2-11x+28\right)-60\)

\(P=\left(x^2-11x+26\right)^2-4-60\)

\(P=\left(x^2-11x+26\right)^2-64\)

\(P=\left(x^2-11x-18\right)\left(x^2-11x+34\right)\)

a) Ta chứng minh \(\Delta HAB~\Delta OMN\). Thật vậy, từ đề bài, dễ thấy H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Vẽ đường tròn ngoại tiếp này. Dựng đường kính AD của (O). AH cắt BC tại E.

 Ta thấy \(\widehat{ACD}=\widehat{AEB}\left(=90^o\right)\) và \(\widehat{ADC}=\widehat{ABE}\) (góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{AC}\)). \(\Rightarrow\Delta ACD~\Delta AEB\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAO}\)

 Mà \(\widehat{CAO}=\widehat{OCA}\), thêm vào đó tứ giác OMCN nội tiếp (vì \(\widehat{OMC}=\widehat{ONC}=90^o\)) nên \(\widehat{OMN}=\widehat{OCN}\). Do đó \(\widehat{HAB}=\widehat{OMN}\)

 Hoàn toàn tương tự, ta suy ra \(\widehat{HBA}=\widehat{ONM}\). Từ đó suy ra \(\Delta HAB~\Delta OMN\left(g.g\right)\) (đpcm)

b) Ta thấy BH//CD\(\left(\perp AC\right)\) và CH//BD\(\left(\perp AB\right)\) nên tứ giác BDCH là hình bình hành. Mà M là trung điểm BC nên M cũng là trung điểm của DH. Lại có O là trung điểm của AD nên OM là đường trung bình của tam giác DHA \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OM//AH\\OM=\dfrac{1}{2}AH\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\\\dfrac{AH}{OM}=\dfrac{GA}{GM}\left(=2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHG~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\) (đpcm)

c) Từ \(\Delta AHG~\Delta MOG\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)

Do A, G, M thẳng hàng nên \(\widehat{AGH}+\widehat{HGM}=180^o\) 

Từ đó suy ra \(\widehat{HGM}+\widehat{MGO}=180^o\) \(\Rightarrow\) H, O, G thẳng hàng.

 Đkxđ: \(x\ge1\). Đặt \(\sqrt{x-1}=a\left(a\ge0\right)\) và \(\sqrt[3]{2-x}=b\left(b\le1\right)\)

 Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=5\\a^2+b^3=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+5\\\left(b+5\right)^2+b^3=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow b^3+b^2+10b+24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+2\right)\left(b^2-b+12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow b=-2\) (do \(b^2-b+12>0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{2-x}=-2\) \(\Leftrightarrow x=10\) (thỏa mãn)

Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất là \(x=10\)

1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)

\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)

\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)  (*)

Thật vậy, (*)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:

VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)

Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\). 

Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)

 Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)

 Không mất tổng quát, giả sử cả tử và mẫu của phân số cần tìm đều dương.

 Gọi phân số đó là \(\dfrac{m}{n}\) với \(m,n\inℕ^∗\), \(m< n\) và  \(ƯCLN\left(m,n\right)=1\). 

 Theo đề bài, ta có: \(\dfrac{m}{n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^3\) (với \(a< b\inℕ^∗\) và \(ƯCLN\left(a,b\right)=1\))

 Và \(\dfrac{m}{n}=0,\overline{xyzxyzxyz...}\)  \(=\dfrac{x}{10^1}+\dfrac{y}{10^2}+\dfrac{z}{10^3}+\dfrac{x}{10^4}+...\)

\(=x\left(\dfrac{1}{10^1}+\dfrac{1}{10^4}+...\right)+y\left(\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^5}+...\right)+z\left(\dfrac{1}{10^3}+\dfrac{1}{10^6}+...\right)\)

Ta sẽ rút gọn tổng \(S_1=\dfrac{1}{10^1}+\dfrac{1}{10^4}+...\)

Có \(1000S_1=100+\dfrac{1}{10^1}+...\)

\(\Rightarrow999S_1=100\) \(\Rightarrow S_1=\dfrac{100}{999}\)

Có \(S_2=\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^5}+...\)

\(\Rightarrow1000S_2=10+\dfrac{1}{10^2}+...\)

\(\Rightarrow999S_2=10\Rightarrow S_2=\dfrac{10}{999}\)

Lại có \(S_3=\dfrac{1}{10^3}+\dfrac{1}{10^6}+...\)

\(\Rightarrow1000S_3=1+\dfrac{1}{10^3}+...\)

\(\Rightarrow999S_3=1\Rightarrow S_3=\dfrac{1}{999}\)

 Từ đó ta có \(\dfrac{m}{n}=\dfrac{100x+10y+z}{999}=\dfrac{\overline{xyz}}{999}\), suy ra \(\overline{xyz}< 999\)

 Vì \(999=3^3.37\) nên để phân số có thể viết thành lập phương của 1 phân số khác thì \(\overline{xyz}⋮37\). Gọi phân số sau khi rút gọn \(\dfrac{m}{n}\) cho 37 là \(\dfrac{k}{27}\). Khi đó vì \(k\) là 1 lập phương đúng của 1 số nguyên nhỏ hơn 27 nên \(k\in\left\{1,8\right\}\). Thử lại, cả 2 trường hợp đều thỏa mãn.

 Vậy các phân số cần tìm là \(\dfrac{1}{27}\) và \(\dfrac{8}{27}\).

 Ta có tính chất sau: Cho số \(N=\overline{a_1a_2...a_{n-1}a_n}\). Ta xét dãy số \(\left(x_k\right)\) như sau: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=3a_1+a_2\\x_k=3x_{k-1}+a_{k+1}\end{matrix}\right.\left(2\le k\le n-1\right)\)

  Khi đó nếu \(x_{n-1}⋮7\) thì \(N⋮7\). 

  Chứng minh: Thật vậy, ta thiết lập các mối quan hệ sau:

 \(x_2=3x_1+a_3=3\left(3a_1+a_2\right)+a_3=9a_1+3a_2+a_3\)

 \(x_3=3x_2+a_4=3\left(9a_1+3a_2+a_3\right)+a_4\) \(=27a_1+9a_2+3a_3+a_4\)

...

\(x_{n-1}=3^{n-1}a_1+3^{n-2}a_2+...+3^1.a_{n-1}+a_n\)

\(x_{n-1}=\left(3^{n-1}-10^{n-1}\right)a_1+\left(3^{n-2}-10^{n-2}\right)a_2\) \(+...+\left(3^1-10^1\right)a_{n-1}+\left(3^0-10^0\right)a_{n-1}\) \(+10^{n-1}a_1+10^{n-2}a_2+...+10^1a_{n-1}+10^0a_n\)

\(x_{n-1}=\left(3^{n-1}-10^{n-1}\right)a_1+...+\left(3^0-10^0\right)a_n+N\)

Vì \(x_{n-1}⋮7\) và \(3^{n-i}-10^{n-i}⋮7\) nên suy ra \(N⋮7\), vậy tính chất được chứng minh.

Áp dụng tính chất cho số đã cho, ta chia số này thành 2 dãy:

 \(\left(u_k\right):\left\{{}\begin{matrix}u_1=3.1+1=4\\u_k=3u_{k-1}+1\end{matrix}\right.\left(2\le k\le7\right)\) 

 Ta thấy \(u_k=3u_{k-1}+1\) \(\Leftrightarrow u_k+\dfrac{1}{2}=3\left(u_{k-1}+\dfrac{1}{2}\right)\)

 Đặt \(v_k=u_k+\dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{9}{2}\\v_k=3v_{k-1}\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow v_k=3v_{k-1}=3^2.v_{k-2}=...=3^{k-1}v_1=\dfrac{9}{2}.3^{k-1}=\dfrac{3^{k+1}}{2}\)

\(\Rightarrow u_k=v_k-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3^{k+1}-1}{2}\) \(\Rightarrow u_7=\dfrac{3^8-1}{2}=3280\)

Ta thấy \(u_8=3u_7+x=9840+x\), \(u_9=3u_8+3=29523+3x\). Ta xét tiếp dãy: \(\left(u_l\right):\left\{{}\begin{matrix}u_9=29523+3x\\u_l=3u_{l-1}+3\end{matrix}\right.\left(10\le l\le16\right)\)

\(u_l=3u_{l-1}+3\) \(\Leftrightarrow u_l+\dfrac{3}{2}=3\left(u_{l-1}+\dfrac{3}{2}\right)\) 

Đặt \(v_l=u_l+\dfrac{3}{2}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_9=3x+\dfrac{59049}{2}\\v_l=3v_{l-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_l=3v_{l-1}=3^2v_{l-2}=...=3^{l-9}v_9=\left(3x+\dfrac{59049}{2}\right).3^{l-9}\)

\(\Rightarrow u_l=v_l-\dfrac{3}{2}=3^{l-8}x+\dfrac{59049.3^{l-9}-3}{2}\) 

\(\Rightarrow u_{16}=3^8x+64570080\)

 Ta thấy số 64570090 chia 6 dư 1. Do đó để N chia hết cho 17 thì \(3^8x\) chia 7 dư 6. Mà \(3^8\) chia 7 dư 2 nên \(x\) chia 7 dư 3 \(\Rightarrow x=3\)

 Vậy để 11111111*33333333 chia hết cho 7 thì * là 3.

\(P=x^3-6x^2+12x-8\)

\(P=x^3-3.x^2.2+3.x.2^2-2^3\)

\(P=\left(x-2\right)^3\)

Tại \(x=10\) thì \(P=\left(10-2\right)^3=512\)

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là 512 tại \(x=10\)