Sao số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà lại có chữ số 3 lặp lại 2 lần thế bạn?

Gọi M là giao điểm của PE với AB.

Ta thấy rằng \(CF=AF=PE,PF=AE=EB\)

Đồng thời \(\widehat{BEP}=60^o-\widehat{AEP}=60^o-\widehat{AFP}=\widehat{PFC}\)

Dẫn đến \(\Delta PBE=\Delta CPF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow PB=PC\)        (1)

Mặt khác, \(\widehat{AMF}=\widehat{MAE}=60^o=\widehat{ACF}\) nên tứ giác AMCF nội tiếp.

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{PFC}\). Mà lại có \(AB=PF,AC=FC\) nên suy ra \(\Delta ABC=\Delta FPC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow PC=BC\)               (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta PBC\) đều (đpcm)

a) Tam giác AKB vuông tại K có đường cao KM nên \(AK^2=AM.AB\)

Chứng minh tương tự, ta có \(AK^2=AN.AC\)

Từ đó suy ra \(AM.AB=AN.AC\) (đpcm)

b) Tam giác KMN vuông tại K nên \(KM^2+KN^2=MN^2\)

Dễ thấy tứ giác AMKN là hình chữ nhật, suy ra \(AK=MN\). Từ đó \(KM^2+KN^2=AK^2\).

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK nên \(AK^2=KB.KC\)

Thế thì \(KM^2+KN^2=KB.KC\) (đpcm)

c) Tam giác AKB vuông tại K, có đường cao KM nên \(AM.BM=KM^2\)

 Tương tự, ta có \(AN.CN=KN^2\)

 Từ đó \(AM.BM+AN.CN=KM^2+KN^2\)

Theo câu b), \(KM^2+KN^2=KB.KC\)

Do đó \(AM.BM+AN.CN=KB.KC\) (đpcm)

\(x^2-4xy+5y^2-16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+y^2=16\)

Ta xét các TH:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=0\\y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=4\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=4\\y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy ta tìm được cặp số (x; y) là \(\left(8;4\right);\left(4;0\right)\)

Ta có \(VP=y\left(y+3\right)\left(y+1\right)\left(y+2\right)\)

\(VP=\left(y^2+3y\right)\left(y^2+3y+2\right)\)

\(VP=\left(y^2+3y+1\right)^2-1\)

\(VP=t^2-1\) (với \(t=y^2+3y+1\ge0\))

pt đã cho trở thành:

\(x^2=t^2-1\)

\(\Leftrightarrow t^2-x^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(t-x\right)\left(t+x\right)=1\)

Ta xét các TH:

Xét TH \(\left(t,x\right)=\left(1,0\right)\) thì \(y^2+3y+1=1\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-3\end{matrix}\right.\) (thử lại thỏa)

Xét TH \(\left(t,x\right)=\left(-1;0\right)\) thì \(y^2+3y+1=-1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=-2\end{matrix}\right.\) (thử lại thỏa).

 Vậy các bộ số nguyên (x; y) thỏa mãn bài toán là \(\left(0;y\right)\) với \(y\in\left\{-1;-2;-3;-4\right\}\)

a) \(P=3\left(x^2+2xy+y^2\right)-2\left(x+y\right)-100\)

\(P=3\left(x+y\right)^2-2.5-100\)

\(P=3.5^2-110\)

\(P=-35\)

b) \(Q=\left[x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\right]-2\left(x^2+2xy+y^2\right)+3.5+10\)

\(Q=\left(x+y\right)^3-2\left(x+y\right)^2+25\)

\(Q=5^3-2.5^2+25\)

\(Q=100\)

\(P=\dfrac{3}{119}+\dfrac{6}{119}+\dfrac{9}{119}+...+\dfrac{102}{119}\)

\(=\dfrac{3+6+9+...+102}{119}\)

\(=\dfrac{3\times\left(1+2+3+...+34\right)}{119}\)

Ta đi tính tổng \(S=1+2+3+...+34\)

Số các số hạng là 34, như thế \(S=\dfrac{34\times\left(34+1\right)}{2}=595\)

Do đó \(P=\dfrac{3\times595}{119}=15\)

 a) Ta thấy \(xy=\dfrac{\left(x+y\right)^2-\left(x^2+y^2\right)}{2}=\dfrac{3^2-5}{2}=2\)

\(\Rightarrow x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\) \(=3\left(5-2\right)=9\)

 b) Ta thấy \(xy=\dfrac{-\left(x-y\right)^2+\left(x^2+y^2\right)}{2}=\dfrac{15-5^2}{2}=-5\)

\(\Rightarrow x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+y^2+xy\right)\) \(=5\left(15-5\right)=50\)

3 số tự nhiên liên tiếp sẽ có dạng tổng quát là \(n-1,n,n+1\) với \(n\inℕ^∗\).

6. A.de'test     B.'balance     C.'leisure     D.'muscle

\(\Rightarrow\) Choose A

7. A.pre'fer     B.out'doors     C.re'sort      D.'message

\(\Rightarrow\) Choose D