đkxđ: \(x,y,z\ge2\)

Biến đổi pt đầu tiên, ta được:

\(x+y-2=4\sqrt{z-2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)+\left(y-2\right)=4\sqrt{z-2}-2\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=a\\\sqrt{y-2}=b\\\sqrt{z-2}=c\end{matrix}\right.\) với \(a,b,c\ge0\) thì ta thu được:

\(a^2+b^2=4c-2\)

Lập 2 đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế, ta được:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=4\left(a+b+c\right)-6\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3=2a+2b+2c\) (*)

 Mà lại có \(a^2+1\ge2a\) \(\Rightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+3\ge2a+2b+2c\)

 Nên để (*) xảy ra thì \(a=b=c=1\) \(\Leftrightarrow x=y=z=3\)

Vậy hpt đã cho có nghiệm \(\left(x,y,z\right)=\left(3,3,3\right)\)

Ta thấy \(2x^2< 4\) \(\Leftrightarrow x^2< 2\) \(\Leftrightarrow x^2=1\) (do \(x\ne0\))

Thế vào pt đề bài, ta có \(3+\dfrac{y^2}{4}=4\) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{y^2}{4}=1\)

\(\Leftrightarrow y^2=4\)

\(\Leftrightarrow y=\pm2\)

Vậy, các cặp số (x; y) thỏa ycbt là \(\left(1;2\right);\left(-1;-2\right);\left(1;-2\right);\left(-1;2\right)\)

\(y^2+2xy-3x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+2xy+x^2\right)-\left(x^2+3x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x+1=0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\end{matrix}\right.\). 

Nếu \(x+2=0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=2\end{matrix}\right.\)

Thử lại, ta thấy thỏa mãn. Vậy ta tìm được các cặp số \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn đề bài là \(\left(-1;1\right),\left(-2;2\right)\)

Bạn thử xem lại đề xem, nó không song song đâu.

Ta có \(P=a^3+b^3+c^3\)

\(P=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-7b\right)+\left(2c^3-2024c\right)+a+7b+2024c-c^3\)

\(P=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-7\right)+2c\left(c^2-1012\right)\)      ( do \(a+7b+2024c=c^3\))

 Dễ thấy \(a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.

 Xét \(f\left(b\right)=b\left(b^2-7\right)\). Dễ thấy \(f\left(b\right)\) chẵn với mọi số nguyên \(b\). Nếu \(b⋮3\Rightarrow f\left(b\right)⋮3\). Nếu \(b⋮̸3\) thì \(b^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow b^2-7⋮3\) \(\Rightarrow f\left(b\right)⋮3\). Vậy \(f\left(b\right)⋮3\) với mọi số nguyên \(b\). Vậy thì \(f\left(b\right)⋮6\)

 Xét \(g\left(c\right)=2c\left(c^2-1012\right)\). Cũng dễ thấy \(g\left(c\right)\) chẵn. Nếu \(c⋮3\) thì \(g\left(c\right)⋮3\). Nếu \(c⋮̸3\) thì \(c^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow c^2-1012⋮3\) \(\Rightarrow g\left(c\right)⋮3\). Thế thì \(g\left(c\right)⋮6\) với mọi số nguyên \(c\)

 Từ đó \(P=a\left(a^2-1\right)+f\left(b\right)+g\left(c\right)⋮6\), đpcm.

 Ta có \(HN\perp AC\) và \(AB\perp AC\) nên AB//HN. Do đó tứ giác ABHN là hình thang        (1)

 Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM nên \(AM=\dfrac{1}{2}BC=BM\), suy ra tam giác MAB cân tại M hay \(\widehat{ABH}=\widehat{NAB}\)           (2)

 Từ (1) và (2), ta suy ra tứ giác ABHN là hình thang cân. (đpcm)

Bổ sung giả thiết là \(n\) điểm đó nằm trên \(xy\)

Số các tia có gốc O là \(n\).

Ta nhận thấy số các tia có gốc là các điểm \(A_i\left(1\le i\le n\right)\) chính là \(A^2_n=\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}=n\left(n-1\right)=n^2-n\)

Từ đề bài, ta suy ra \(n^2-n+n=40\Leftrightarrow n^2=40\), vô lí.

(Mình nghĩ đề bài là 49 tia thì khi đó \(n=7\))

đkxđ: 

\(x^2-4x+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\x-3\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1\le0\\x-3\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge3\\x\le1\end{matrix}\right.\)

Vậy đkxđ của biểu thức là \(\left[{}\begin{matrix}x\ge3\\x\le1\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\dfrac{a^2}{b^2}+1\ge2.\dfrac{a}{b}\)

Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng theo vế, ta được:

\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+3\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\) (*)

Mà ta lại có \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}=3\)

\(\Leftrightarrow-3\ge-\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\) (**)

Cộng theo vế (*) và (**), ta được đpcm. 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

 Dễ thấy \(u_n>0,\forall n\inℕ^∗\). 

 Ta có \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n^2+2021}{2u_n}-u_n=\dfrac{2021-u_n^2}{2u_n}\)

 Với \(n\ge2\) thì \(u_n=\dfrac{u_{n-1}^2+2021}{2u_{n-1}}\) \(=\dfrac{u_{n-1}}{2}+\dfrac{2021}{2u_{n-1}}\) \(>2\sqrt{\dfrac{u_{n-1}}{2}.\dfrac{2021}{2u_{n-1}}}\) \(=\sqrt{2021}\)

Vậy \(u_n>\sqrt{2021},\forall n\ge2\), suy ra \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2021-u_n^2}{2u_n}< 0,\forall n\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow\) Dãy \(\left(u_n\right)\) là dãy giảm. Mà \(u_n>\sqrt{2021}\)  \(\Rightarrow\left(u_n\right)\) có giới hạn hữu hạn. Đặt \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=L\) \(\Rightarrow L=\dfrac{L^2+2021}{2L}\) \(\Leftrightarrow L=\sqrt{2021}\)

 Vậy \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=\sqrt{2021}\)