Xét các số có 4 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán thì số thứ nhất, số thứ 2, số thứ 3 đều có 6 cách chọn. Riêng số cuối cùng thì chỉ có 1 cách chọn (là chữ số 5 vì số có 4 chữ số phải chia hết cho 5) nên ta lập được tất cả \(6.6.6.1=216\) (số)

\(3x+2⋮x-1\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-1\right)+5⋮x-1\)

\(\Leftrightarrow5⋮x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\inƯ\left(5\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{-4;0;2;6\right\}\)

Vậy để \(3x+2⋮x-1\) thì \(x\in\left\{-4;0;2;6\right\}\)

b) \(x^2+2x-7⋮x+2\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)-7⋮x+2\)

\(\Leftrightarrow7⋮x+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\inƯ\left(7\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\in\left\{\pm1;\pm7\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{-9;-3;-1;5\right\}\)

Vậy để \(x^2+2x-7⋮x+2\) thì \(x\in\left\{-9;-3;-1;5\right\}\)

 Số các chữ số An đã in ra là \(180000:500=360\) (chữ số)

 Từ 1 đến 9 có tất cả 9 chữ số, từ 10 đến 99 có tất cả là 90 số và do đó có 180 chữ số. Đến đây, ta đã có 189 chữ số, khi đó còn lại \(360-189=171\) (chữ số)

 Ta chắc chắn rằng số áo mà An đã in không vượt quá 999 vì khi đó số các chữ số sẽ là \(189+3.\left(999-100+1\right)=2889>360\). Do đó, số áo cuối cùng mà An in phải là 1 số có 3 chữ số.

 Vì số các chữ số trong các số có 3 chữ số là \(171\) nên số các số có 3 chữ số là \(171:3=57\) (số). Như vậy, số áo cuối cùng mà An đã in là \(99+57=156\). Vậy Hải cần in từ số 157.

Cách 1: \(43\times11=43\times\left(10+1\right)\) \(=43\times10+43\times1\) \(=430+43\) \(=473\)

Cách 2: Muốn nhân 1 số có 2 chữ số bất kì với 11 thì ta làm như sau:

VD: tính \(43\times11\). Ta biết kết quả của phép tính này phải gồm 3 hoặc 4 chữ số nên ta viết kết quả là \(\overline{4x3}\). Ta chỉ việc lấy \(4+3=7\)  rồi ta đem 7 thay vào \(x\) thì thu được ngay kết quả là \(473\) (ở đây các chữ số 4, 3 đều là lấy từ số 43 ở đề bài)

 Theo đề bài, ta có \(3A-1=n^2\left(n\inℕ\right)\) (vì 1 là số chính phương bé nhất có 1 chữ số khác 0). Từ đó suy ra \(n^2\)  chia 3 dư 2. Ta sẽ chứng minh điều này là vô lí.

 Thật vậy, xét \(n=3k\left(k\inℕ\right)\) thì hiển nhiên \(n^2⋮3\). Xét \(n=3k+1\) thì \(n^2=\left(3k+1\right)^2=9k^2+6k+1\) chia 3 dư 1. Xét \(n=3k+2\) thì \(n^2=\left(3k+2\right)^2=9k^2+12k+4\) cũng chia 3 dư 1. Vậy, trong mọi trường hợp thì \(n^2\) chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1, không thể dư 2. Do đó ta đã chỉ ra được điều vô lí.

 Tóm lại, không thể tìm được số tự nhiên A nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Bài làm của bạn Trí từ chỗ \(x^2+y^2⋮4\Rightarrow x^2,y^2⋮4\) thì bạn còn phải xét thêm trường hợp \(x,y\) cùng lẻ nữa. Vì số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y\) lẻ thì \(x^2+y^2\) chia 4 dư 2, không thỏa mãn. Vậy mới suy ra được \(x^2,y^2⋮4\). Còn lại bạn đúng hết rồi.

 Ta thấy rằng \(1+2+3+...+x=\dfrac{x\left(x+1\right)}{2}\) nên điều kiện đề bài tương đương với \(\dfrac{x\left(x+1\right)}{2}=\overline{aaa}=100a+10a+a\) \(=111a\)

 \(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=222a\). Ta thấy \(x\ge11\) vì nếu không \(x^2+x\le110< 111\). Tương tự thì \(x\le31\) vì nếu không \(x^2+x\ge1056>999\). Từ đó suy ra \(11\le x\le31\). Mặt khác, \(x\left(x+1\right)=222a\) nghĩa là \(x\left(x+1\right)⋮222\). Nhưng do \(x\) và \(x+1\) nguyên tố cùng nhau nên \(x⋮222\) hoặc \(x+1⋮222\). Nhưng với \(11\le x\le31\) thì rõ ràng điều này không thể thỏa mãn.

 Vậy, không tồn tại số tự nhiên \(x\) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Ta đặt \(x^4+ax+b=\left(x-4\right).P\left(x\right)\) với \(P\left(x\right)\) là một đa thức hệ số nguyên có bậc là 3. Khi đó giả sử \(P\left(x\right)=kx^3+lx^2+mx+n\). Khi đó \(\left(x-4\right)P\left(x\right)=\left(x-4\right)\left(kx^3+lx^2+mx+n\right)\) \(=kx^4+lx^3+mx^2+nx-4kx^3-4lx^2-4mx-4n\)

\(kx^4+\left(l-4k\right)x^3+\left(m-4l\right)x^2+\left(n-4m\right)x-4n\)

 Đk đã cho tương đương với \(x^4+ax+b=kx^4+\left(l-4k\right)x^3+\left(m-4l\right)x^2+\left(n-4m\right)x-4n\) với mọi \(x\inℤ\)

hay\(\left(k-1\right)x^4+\left(l-4k\right)x^3+\left(m-4l\right)x^2+\left(n-4m-a\right)x-\left(4n+b\right)=0\) với mọi \(x\inℤ\)

hay \(k-1=0;l-4k=0;m-4l=0;n-4m-a=0;4n+b=0\)

\(\Leftrightarrow k=1,l=4,m=16\) và từ đó ta có \(\left\{{}\begin{matrix}n-64-a=0\\4n+b=0\end{matrix}\right.\). Điều này có nghĩa là \(4\left(64+a\right)+b=0\) \(\Leftrightarrow4a+b+256=0\).

 Như vậy, để \(x^4+ax+b⋮x-4\) với mọi số nguyên \(x\) thì \(a,b\inℤ\) thỏa mãn \(4a+b+256=0\)

 Bạn Quang còn thiếu các trường hợp \(a-b\in\left\{0;1;4\right\}\) nữa. Các số có 2 chữ số \(\overline{ab}\) \(\left(a>b\right)\) mà \(a-b\in\left\{0;1;4;9\right\}\) thì \(\overline{ab}-\overline{ba}\) luôn là số chính phương.

 PTHH xảy ra: \(S+O_2\rightarrow SO_2\)

 Số mol S là \(n_S=\dfrac{m_S}{M_S}=\dfrac{3,2}{32}=0,1\left(mol\right)\), số mol khí oxi là \(n_{O_2}=\dfrac{m_{O_2}}{M_{O_2}}=\dfrac{6,4}{2.16}=0,2\left(mol\right)\), như vậy, lượng khí oxi sẽ bị dư ra sau phản ứng nên ta sẽ tính khối lượng \(SO_2\) dựa theo \(S\). Từ PTHH suy ra số mol \(SO_2\) tạo thành là 0,1 mol. Mà \(M_{SO_2}=M_S+2M_O=32+2.16=64\left(g/mol\right)\)

 Vì vậy, khối lượng \(SO_2\) sau pứ là \(m_{SO_2}=n_{SO_2}.M_{SO_2}=0,1.64=6,4\left(g\right)\)