a) Ta thấy \(\dfrac{EA}{EK}=\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{EG}{EA}\) nên \(AE^2=EK.EG\) (đpcm)

b) Ta có \(\dfrac{AE}{AK}+\dfrac{AE}{AG}=\dfrac{DE}{DB}+\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{DE+BE}{BD}=1\) nên suy ra \(\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\) (đpcm)

\(a^2+b^2+c^2+d^2+1=a\left(b+c+d+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4=4ab+4ac+4ad+4a\)

\(\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2+a^2-4ac+4c^2+a^2-4ad+4d^2+a^2-4a+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2b\\a=2c\\a=2d\\a=2\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=c=d=1\end{matrix}\right.\).

Vậy \(\left(a,b,c,d\right)=\left(2,1,1,1\right)\)

a) Vì OB' là tia phân giác của \(\widehat{A'OC}\) nên \(\widehat{A'OB'}=\dfrac{\widehat{A'OC}}{2}=\dfrac{90^o}{2}=45^o\). Suy ra \(\widehat{AOB}=\widehat{A'OB'}\left(=45^o\right)\). Lại có \(\widehat{AOB}+\widehat{BOA'}=\widehat{AOA'}=180^o\) nên \(\widehat{BOB'}=\widehat{A'OB'}+\widehat{BOA'}=180^o\) hay B, O, B' thẳng hàng. Suy ra \(\widehat{AOB}\) và \(\widehat{A'OB'}\) là 2 góc đối đỉnh.

b) Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AA', ta thấy tia OB nằm giữa 2 tia OA và OD, tia OD lại nằm giữa 2 tia OB và OA', do đó \(\widehat{AOB}+\widehat{BOD}+\widehat{DOA'}=\widehat{AOA'}\)  \(\Leftrightarrow45^o+90^o+\widehat{A'OD}=180^o\) \(\Leftrightarrow\widehat{A'OD}=45^o\)

 TH1: Nếu \(a\ge b\ge c\) thì đk đã cho tương đương với \(3\left(a-b\right)=5\left(b-c\right)=7\left(a-c\right)\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-3b=5b-5c\\5b-5c=7a-7c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+5c=8b\\7a-2c=5b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6a+10c=16b\\35a-10c=25b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow41a=41b\Leftrightarrow a=b\). Điều này có nghĩa là \(a-b=0\), từ đó suy ra \(5\left(b-c\right)=0\Leftrightarrow b=c\). Vậy \(a=b=c\).

 TH2: Nếu \(b\ge c\ge a\) thì đk đã cho tương đương với \(3\left(b-a\right)=5\left(b-c\right)=7\left(c-a\right)\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3b-3a=5b-5c\\5b-5c=7c-7a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+2b=5c\\7a+5b=12c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}15a+10b=25c\\-14a-10b=-24c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=c\). Từ đó suy ra \(a-c=0\) hay \(3\left(b-a\right)=0\Leftrightarrow a=b\). Vậy \(a=b=c\).

 TH3: Nếu \(c\ge a\ge b\) thì đk đã cho tương đương với \(3\left(a-b\right)=5\left(c-b\right)=7\left(c-a\right)\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-3b=5c-5b\\5c-5b=7c-7a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+2b=5c\\7a-5b=2c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}15a+10b=25c\\14a-10b=4c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow29a=29c\Leftrightarrow a=c\). Từ đó suy ra \(a-c=0\) hay \(3\left(a-b\right)=0\Leftrightarrow a=b\). Vậy \(a=b=c\)

 Tất cả các trường hợp còn lại làm tương tự và đều suy ra được \(a=b=c\). Ta có đpcm.

Chỗ này mình bị thiếu dấu "=" 

a) Ta viết lại dãy đã cho thành \(1\dfrac{1}{3},1\dfrac{1}{8},1\dfrac{1}{15},...\)

 Ta có thể thấy mẫu số của phần phân số trong các hỗn số của dãy là dãy các tích của 2 số cách nhau 2 đơn vị kể từ \(1.3\). Chẳng hạn \(3=1.3\), \(8=2.4\), \(15=3.5,...\) Do đó ta rút ra công thức số hạng tổng quát của dãy là \(u_n=1\dfrac{1}{n\left(n+2\right)}\)\(1+\dfrac{1}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}\)

 b) Ta cần tính \(u_1.u_2...u_{98}\). Ta thấy rằng 

\(u_1.u_2...u_{98}\) \(=\dfrac{\left(1+1\right)^2}{1.3}.\dfrac{\left(2+1\right)^2}{2.4}.\dfrac{\left(3+1\right)^2}{3.5}...\dfrac{\left(98+1\right)^2}{97.99}\) \(=\dfrac{2^2}{1.3}.\dfrac{3^2}{2.4}.\dfrac{4^2}{3.5}.\dfrac{6^2}{4.6}...\dfrac{98^2}{97.99}.\dfrac{99^2}{98.100}\) \(=\dfrac{2.99}{100}=\dfrac{99}{50}\)

 Do MD//AB và \(AB\perp AD\) nên \(MD\perp AD\) hay \(\widehat{ADM}=90^o\). Hoàn toàn tương tự, ta có \(\widehat{AEM}=90^o\). Mà \(\widehat{DAE}=90^o\) nên tứ giác ADME là hình chữ nhật. Do đó \(DE=AM\). Như vậy, ta quy về tìm vị trí của M trên BC để AM nhỏ nhất. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC thì H cố định. Ta thấy AH và AM lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ A lên BC nên \(AM\ge AH\). Dấu "=" chỉ xảy ra khi \(M\equiv H\) hay M là chân đường vuông góc hạ từ A lên BC. 

 Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Ta dễ tính được \(\widehat{ADH}=\widehat{B}+\widehat{BAD}=45^o+\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=45^o+\dfrac{60^o}{2}=75^o\).

 Từ đó suy ra tam giác ACD cân tại A hay \(AC=AD=2\). Đồng thời \(AH=AC.\sin\widehat{C}=2.\sin75^o=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\).

 \(\Delta ABH\) vuông cân tại H nên \(AB=AH\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}=1+\sqrt{3}\) và \(BH=AH=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)

 Mà ta lại có \(CH=AC.\cos C=2\cos75^o=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\) nên \(BC=BH+CH=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}\). 

 Thế thì chu vi của tam giác ABC bằng \(AB+BC+CA=1+\sqrt{3}+\sqrt{6}+2=3+\sqrt{3}+\sqrt{6}\left(cm\right)\)

 Và diện tích của tam giác ABC bằng

\(\dfrac{1}{2}AC.BC.\sin C=\dfrac{1}{2}.2.\sqrt{6}.\sin75^o=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\left(cm^2\right)\)

 Bạn xem lại đề bài nhé. Với \(a=1,b=9\) thì \(111a+25b=336⋮12\) nhưng \(9a+13b=126⋮̸12\). Mình nghĩ đề bài là chứng minh \(9a+3b⋮12\). Vì \(111a+25b⋮12\) nên \(108a+24b+3a+b⋮12\) hay \(3a+b⋮12\) hay \(9a+3b⋮12\).

\(y\left(2y-3\right)\left(2y-1\right)\left(y+1\right)=24\)

\(\Leftrightarrow\left[y\left(2y-1\right)\right]\left[\left(2y-3\right)\left(y+1\right)\right]=24\)

\(\Leftrightarrow\left(2y^2-y\right)\left(2y^2-y-3\right)=24\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-3\right)=24\) (với \(t=2y^2-y\)), suy ra \(t\ge-\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow t^2-3t-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{3+\sqrt{105}}{2}\left(nhận\right)\\t=\dfrac{3-\sqrt{105}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Suy ra \(2y^2-y=\dfrac{3+\sqrt{105}}{2}\)

Tới đây thì mình nghĩ bạn tìm đc y rồi đó.