Quay lại giao diện cũ
Bài tập tự luận: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Không tính $\Delta$ hoặc $\Delta'$, tìm nghiệm của các phương trình sau:
a) \(x^2+\left(m-2\right)x+1-m=0;\)
b) \(2x^2+7x+5=0;\)
c) \(\left(a-b\right)x^2+\left(b-c\right)x+\left(c-a\right)=0.\)
Hướng dẫn giải
Chú ý:
Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có các hệ số $a,$ $b,$ $c$ thỏa mãn
+) $a+b+c=0$ thì có một nghiệm $x=1$;
+) $a-b+c=0$ thì có một nghiệm $x=-1$.
Xác định $m$ và tìm nghiệm còn lại của các phương trình sau:
a) \(2x^2-\left(m+5\right)x-2m=0\) có một nghiệm bằng $1$.
b) \(3x^2-\left(2m+1\right)x-3m=0\) có một nghiệm bằng $-1$.
Hướng dẫn giải
Thay nghiệm đã biết vào phương trình để tìm $m$, sau đó áp dụng hệ thức Vi-ét $x_1.x_2 = \dfrac ca$.
Xác định $k$ để phương trình $x^2 - 2kx+2k-3=0$ có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
Hướng dẫn giải
Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu là \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right..\)
Xác định số $k$ để các phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:
a) \(x^2-6x+\left(7-k^2\right)=0\);
b) \(k^2x^2-kx-2=0\).
Hướng dẫn giải
Yêu cầu bài toán tương đương với \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1x_2< 0\end{matrix}\right.\).
Tìm $m$ để phương trình $x^2-(m-2)x-m=0$ có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn $1$.
Hướng dẫn giải
Yêu cầu bài toán tương đương với
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1< 1\\x_2< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1-1< 0\\x_2-1< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)>0\\\left(x_1-1\right)+\left(x_2-1\right)< 0\end{matrix}\right.\).
Xác định số $k$ để phương trình \(x^2-2\left(k+3\right)x+4k+2=0\) có hai nghiệm có hiệu bằng $1$.
Hướng dẫn giải
\(1^2=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2.\)
Dựa vào hệ thức Vi-ét, tính $x_1+x_2$ và $x_1x_2$ theo $k$.
Xác định $k$ để phương trình $x^2+2x+k=0$ có hai nghiệm $x_1,$ $x_2$ thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=1.\)
Hướng dẫn giải
Dựa vào hệ thức Vi-ét, $x_1+x_2 = -2$, từ đó có hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2+x_2^2=1\\x_1+x_2=-2\end{matrix}\right..\)
Giải hệ phương trình tìm được $x_1,$ $x_2$, từ đó tìm được $k=x_1.x_2$. Cuối cùng, thử lại xem giá trị $k$ vừa tìm được có thỏa mãn không?
Cho phương trình \(ax^2+bx+c\quad\left(a\ne0,c\ne0\right)\) có hai nghiệm $x_1,$ $x_2$. Biểu diễn các biểu thức sau theo $a,$ $b,$ $c$:
\(A=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2};B=x_1^2+x_2^2.\)
Hướng dẫn giải
Chú ý rằng các biểu thức $A$ và $B$ đều đối xứng.
Đưa các biểu thức về dạng biểu thức của $x_1+x_2$ và $x_1x_2$.
Cho phương trình \(x^2-\left(k+3\right)x+2k+1=0\) có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$. Tìm một hệ thức giữa $x_1$ và $x_2$ độc lập với $k$.
Hướng dẫn giải
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=k+3\\x_1.x_2=2k+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=x_1+x_2-3\\x_1.x_2=2k+1\end{matrix}\right..\)
Sau đó thế \(k=x_1+x_2-3\) vào hệ thức dưới.
Tìm hai số có tổng $S$ và tích $P$ biết rằng:
a) \(S=\dfrac{1}{6};P=-\dfrac{1}{6};\)
b) $S=1;P=2.$
Hướng dẫn giải
Chú ý xét điều kiện: $S^2>4P$.
Nếu điều kiện thỏa mãn thì hai số là nghiệm của phương trình $X^2-SX+P$.
Lập phương trình bậc hai có các nghiệm:
a) $4$ và $\dfrac14$;
b) $\sqrt{3}$ và $\sqrt{5}$;
c) $3+\sqrt{2}$ và $3-\sqrt{2}$.
Hướng dẫn giải
$S=x_1+x_2;P=x_1x_2$ thì $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $X^2-SX+P$.
Cho phương trình $ax^2+bx+c=0$ có các nghiệm $x_1,$ $x_2$. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_1,$ $y_2$ sao cho:
a) $y_1=3x_1;y_2=3x_2$;
b) $x_1+y_1=0;x_2+y_2=0$.
Hướng dẫn giải
Dựa vào hệ thức Vi-ét tính được $y_1+y_2$ và $y_1y_2$.
Rút gọn phân thức \(\dfrac{2a^2-5ab-3b^2}{6ab-a^2-9b^2}\).
Hướng dẫn giải
Hai số $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$, giả sử $b\ne0$, chia đa thức $2a^2-5ab-3b^2$ cho $b^2$ ta được \(2\left(\dfrac{a}{b}\right)^2-5\left(\dfrac{a}{b}\right)-3\).
Đặt $\dfrac ab = t$, ta được \(2t^2-5t-3\), đa thức có nghiệm $t=3$ hoặc $t=-\dfrac 12$, suy ra \(2t^2-5t-3=\left(2t+1\right)\left(t-3\right).\)
Do đó \(2a^2-5ab-3b^2=\left(2a+b\right)\left(a-3b\right).\)
\(6ab-a^2-9b^2=-\left(a-3b\right)^2.\)