Bất đẳng thức Cô-si (phần 1)

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được

    \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)    ;    \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)   ;   \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được đpcm.

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có

                           \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)      và     \(xy+1\ge2\sqrt{xy}\)

Nhân theo vế hai bất đẳng thức này ta được bất đẳng thức cần chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y>0\)  và  \(xy=1\) , tức là khi \(x=y=1\).

Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có

                  \(1+x\ge2\sqrt{x}\)   ;      \(1+y\ge2\sqrt{y}\)     ;     \(1+z\ge2\sqrt{z}\)

Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được 

                                    \(\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\ge8\sqrt{xyz}\)

Sử dụng giả thiết   \(xyz=1\) ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y=z\).

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có

                    \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)  và    \(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)

Nhân theo vế hai bất đẳng thức này ta suy ra được đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y=z\).

Sử dụng Cô si cho 2 số dương ta được

                        \(\dfrac{a^3b}{c}+\dfrac{a^3c}{b}=a^3\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\ge2a^3\)

Làm tương tự với hai cặp số hạng còn lại và cộng các bất đẳng thức nhận được ta có

          \(\dfrac{a^3b}{c}+\dfrac{a^3c}{b}+\dfrac{b^3c}{a}+\dfrac{b^3a}{c}+\dfrac{c^3b}{a}+\dfrac{c^3a}{b}\ge2\left(a^3+b^3+c^3\right)\)  (1)

Lại theo bất đẳng thức Cô si ta được     

                                        \(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)      (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.  

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có

                 \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2b\)      ;   \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge2c\)   ;    \(\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge2a\)

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên rồi chia hai vế bất đẳng thức nhận được cho 2 ta được đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b=c\).

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có:

                                   \(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{bc}.\dfrac{b}{ca}}=\dfrac{2}{b}\)

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế ba bất đẳng thức nhận được rồi chia 2 vế bất đẳng thức cho 2 ta được đpcm.

Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có

              \(\sqrt{ab}+3\sqrt{bc}+5\sqrt{ca}\le\dfrac{a+b}{2}+3.\dfrac{b+c}{2}+5.\dfrac{c+a}{2}\)

                                                 \(=3a+2b+4c\)

Từ đó       \(3a+2b+4c\ge\sqrt{ab}+3\sqrt{bc}+5\sqrt{ca}\). 

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc    \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)  ta có

                               \(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)    (1)

Mà                          \(a^2b^2+b^2c^2\ge2\sqrt{a^2b^2.b^2c^2}=2acb^2\)

                               \(b^2c^2+c^2a^2\ge2bac^2\)

                               \(c^2a^2+a^2b^2\ge2bca^2\)

Cộng theo vế ba bất thức trên rồi chia hai vế cho 2 ta được

                     \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge acb^2+bac^2+cba^2=abc\left(a+b+c\right)\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.