Quay lại giao diện cũ
Đường kính, dây cung
Cho đường tròn (O), bán kính OA bằng $\sqrt5 cm$. Kẻ bán kính OB vuông góc với OA. Gọi I là trung điểm của OB. Vẽ dây AC đi qua I. Tính độ dài AC.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí Pi-ta-go ta tính được:
$AI=\sqrt{AO^2+OI^2}=\sqrt{5+\frac{5}{4}}=\frac{5}{2}$.
Kẻ OH $\bot$ AI. Dựa vào hệ thức $OA^2=AI.AH$, ta tính được AH = 2cm. Do đó AC = 2AH = 4cm.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên AB lấy hai điểm C và D cách đều tâm O. Qua C và D, kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn ở I và K.
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm IK.
Ta có OH là đường trung bình của hình thang CDKI nên OH // IC. Mà OH $\bot$ IK nên IC $\bot$ IK.
Cho một điểm I nằm bên trong đường tròn (O). Qua I kẻ một dây AB bất kì và kẻ dây CD vuông góc với OI, OI kéo dài cắt đường tròn (O) ở E. Bán kính OF vuông góc với AB tại H.
a) So sánh AB và CD.
b) So sánh IE và HF.
Hướng dẫn giải
a) OI > OH (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông trong tam giác vuông IOH) $\Rightarrow$ CD < AB (dây xa tâm hơn thì bé hơn).
b) IE = OE – OI = OF – OI < OF – OH = HF (vì OI > OH).
Hướng dẫn giải
Kẻ OI $\bot$ AB, OK $\bot$ CD. Chứng minh hai tam giác vuông OIE và OKE bằng nhau. Từ đó, chứng minh được EB = EC, EA = ED.
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ hai dây song son AC và BD. Chứng minh rằng:
a) AC = BD;
b) Ba điểm C, O, D thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AC và BD, cắt AC và BD ở E và F.
a) Chứng minh $\Delta AEO=\Delta BFO$ theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.
b) Chứng minh ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Hạ OH $\bot$ BN, OK $\bot$ AM. Chứng minh $\Delta COK=\Delta COH$ suy ra OC là đường phân giác của tam giác AOB.
Cho hình thang cân ABCD. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình thang.
Hướng dẫn giải
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh đáy AB, CD của hình thang cân.
MN là trục đối xứng của hình thang cân nên MN là đường trung trực của AB và của CD.
Gọi O là giao điểm của MN với đường trung trực của BC. O thuộc đường trung trực của AB nên OA = OB.
Tương tự, OB = OC, OC = OD.
Vậy OA = OB = OC = OD, do đó (O ; OA) đi qua các điểm A, B, C, D.
Cho đường tròn tâm O, dây AB = 24cm, dây AC = 20cm ($\widehat{BAC}<{90}^\circ$ và O nằm trong góc BAC). Gọi M là trung điểm AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8cm. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C và tìm bán kính của đường tròn.
Hướng dẫn giải
a) Kẻ MH $\bot$ AB.
Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\bot$ AB.
Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.
Do $AK = \frac{1}{2}AB$ nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.
Vậy tam giác ABC cân tại C.
b) $\Delta OMC \backsim \Delta AKC$ (g-g) $\Rightarrow \frac{MC}{KC}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow\frac{10}{16}=\frac{OC}{20}\Rightarrow OC=12,5cm$.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, các dây AC, AD. Gọi E là điểm bất kì trên đường tròn, H và K theo thức wuj là hình chiếu của E trên AC, AD. Chứng minh HK $\le$ AB.
Hướng dẫn giải
Các điểm A, H, E, K thuộc đường tròn có đường kính AE, mà HK là dây của đường tròn nên HK $\le$ AE.
Trong đường tròn (O), ta có AE $\le$ AB. Do đó HK $\le$ AB.
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), AC = 40cm, BC = 48cm. Tính khoảng cách từ O đến BC.
Hướng dẫn giải
Kẻ đường cao AH, ta tính được AH = 32cm.
Do AH > HC nên tâm O nằm giữa A và H. Đặt OH = x. Kẻ OM $\bot$ AC.
Ta có: $\Delta AMO \backsim \Delta AHC$ (g.g)
$\Rightarrow\frac{AO}{AC}=\frac{AM}{AH}\Rightarrow\frac{32-x}{40}=\frac{20}{32}$.
Từ đó tính được x = 7cm.
Hướng dẫn giải
Kẻ đường kính AD thì $\widehat{ACD}={90}^\circ$.
Ta có $AC^2=AH.AH$ nên $AD=\frac{AC^2}{AH}=\frac{b^2}{h}$. Bán kính đường tròn là $\dfrac{b^2}{2h}$.