Giới hạn dãy số

1. Khái niệm giới hạn dãy số

Cho dãy số $(u_n)$

• Khi $n\to +\infty $ thì $u_n\to a$ ta nói giới hạn của dãy số bằng a.

• Kí hiệu: $\lim \,\,u_n$ hay $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\,\,u_n$.

2. Một số kết quả thường sử dụng

i) $\lim \,\,\dfrac{1}{{{n}^{k}}}=0,\,\,k>0$;

ii) $\lim \,q^n=0$ nếu $\left| q \right|<1$;

iii) $\lim \,q^n=+\infty $ nếu $q>1$.

3) Tính chất

Cho $\lim u_n=a$ và $\lim v_n=b$. Khi đó:

• $\lim \big( u_n+v_n \big) = a+b$;

• $\lim \big( u_n-v_n \big) = a-b$.

• $\lim \big( u_n.v_n \big) =ab$.

• $\lim \big( \dfrac{u_n}{v_n} \big) =\dfrac{a}{b}$ với $b\ne 0$.

• $\lim  C=C$ với $C$ là hằng số.

4) Định lí kẹp

Với $\left\{ \begin{aligned} & \left| u_n \right|\le v_n \\ & \lim \, v_n=0 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \lim \,u_n=0$

Dạng 1. Giới hạn của dãy số có dạng đa thức

Phương pháp:

Nhóm lũy thừa cao nhất của $n$ ra ngoài rồi sử dụng công thức:

i) $\lim \dfrac{1}{n^k}=0$ với $k>0$

ii) $\lim \big( a.n^k \big)=\left\{ \begin{aligned} & +\infty \, \, \text{khi} \, \, a>0 \\ & -\infty \, \, \text{khi} \, \, a<0 \\ \end{aligned} \right.$

Ví dụ 1. Tính $\lim \Big( 2n+3 \Big)$.

Lời giải

$\lim \Big( 2n+3 \Big)=\lim  n\Big( 2+\dfrac{3}{n} \Big)=+\infty $.

Vì $\left\{ \begin{aligned} & \lim \,\,n=+\infty  \\ & \lim \,\,\Big( 2+\dfrac{3}{n} \Big)=2+0=2>0 \\ \end{aligned} \right.$.

Ví dụ 2. Tính $\lim \Big( 5-3n^2 \Big)$.

Lời giải

$\lim \Big( 5-3n^2 \Big)=\lim \,\,n^2\Big( \dfrac{5}{n^2}-3 \Big)=-\infty $.

Vì $\left\{ \begin{aligned} & \lim \,\,n^2=+\infty  \\ & \lim \,\,\Big( \dfrac{5}{n^2}-3 \Big)=0-3=-3<0 \\ \end{aligned} \right.$.

Ví dụ 3. Tính $\lim \Big( 2n^3-n^2+3 \Big)$.

Lời giải

$\lim \big( 2n^3-n^2+3 \big)=\lim  n^3\Big( 2-\dfrac{1}{n}+\dfrac{3}{n^3} \Big)=+\infty $

Vì $\left\{ \begin{aligned} & \lim  n^3=+\infty  \\ & \lim  \Big( 2-\dfrac{1}{n}+\dfrac{3}{n^3} \Big)=2-0+0=2>0 \\ \end{aligned} \right.$. 

Dạng 2. Giới hạn của dãy số có dạng phân thức

Phương pháp: Rút lũy thừa cao nhất của cả tử và mẫu rồi sử dụng công thức:

i) $\lim \dfrac{1}{n^k}=0$ với $k>0$.

ii) $\lim n^k=+\infty $.

iii) $\left\{ \begin{aligned} & \lim \,\,u_n=a>0 \\ & \lim \,\,{{v}_{n}}=0;\,\,{{v}_{n}}>0\forall n \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \lim \,\,\dfrac{u_n}{{{v}_{n}}}=+\infty $;

iv) $\left\{ \begin{aligned} & \lim \,\,u_n=b<0 \\ & \lim \,\,{{v}_{n}}=0;\,\,{{v}_{n}}>0\forall n \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \lim \,\,\dfrac{u_n}{{{v}_{n}}}=-\infty $.

Ví dụ 4. Tính $\lim \dfrac{2n-5}{n+1}$.

Lời giải

$\lim \dfrac{2n-5}{n+1}=\lim \dfrac{n\Big( 2-\dfrac{5}{n} \Big)}{n\Big( 1+\dfrac{1}{n} \Big)}=\lim \dfrac{2-\dfrac{5}{n}}{1+\dfrac{1}{n}}=\dfrac{2-0}{1+0}=2$.

Ví dụ 5. Tính $\lim \dfrac{3n^2+n-5}{2n^2+1}$.

Lời giải

$\lim \dfrac{3n^2+n-5}{2n^2+1}=\lim \dfrac{n^2\Big( 3+\dfrac{1}{n}-\dfrac{5}{n^2} \Big)}{n^2\Big( 2+\dfrac{1}{n^2} \Big)}$

$=\lim \dfrac{3+\dfrac{1}{n}-\dfrac{5}{n^2}}{2+\dfrac{1}{n^2}}=\dfrac{3+0+0}{2+0}=\dfrac{3}{2}$.

Ví dụ 6. Tính $\lim \dfrac{7n+3}{2n^2+3n^3+4}$.

Lời giải

$\lim \dfrac{7n+3}{2n^2+3n^3+4}=\lim \dfrac{n\Big( 7+\dfrac{3}{n} \Big)}{n^3\Big( \dfrac{2}{n}+3+\dfrac{4}{n^3} \Big)}$

$=\lim \Big( \dfrac{1}{n^2}.\dfrac{7+\dfrac{3}{n}}{\dfrac{2}{n}+3+\dfrac{4}{n^3}} \Big)=0$

Vì $\left\{ \begin{aligned} & \lim \dfrac{1}{n^2}=0 \\ & \lim \Big( \dfrac{7+\dfrac{3}{n}}{\dfrac{2}{n}+2+\dfrac{4}{n^3}} \Big)=\dfrac{7}{3} \\ \end{aligned} \right.$.

Ví dụ 7. Tính $\lim \,\dfrac{2n^3-11n+1}{n^2-2}$.

Lời giải

$\lim \dfrac{2n^3-11n+1}{n^2-2}=\lim \dfrac{n^3\Big( 2-\dfrac{11}{n^2}+\dfrac{1}{n^3} \Big)}{n^2\Big( 1-\dfrac{2}{n^2} \Big)}$

$=\lim \,\,n\dfrac{2-\dfrac{11}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}}{1-\dfrac{2}{n^2}}=+\infty $

Vì $\left\{ \begin{aligned} & \lim \,\,n=+\infty  \\ & \lim \,\,\dfrac{2-\dfrac{11}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}}{1-\dfrac{2}{n^2}}=2>0 \\ \end{aligned} \right.$. 

Dạng 3. Giới hạn dãy số chứa căn thức

Phương pháp: Nhân liên hợp

▪️ $\sqrt{A}-\sqrt{B}=\dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$.

▪️ $\sqrt{A}-B=\dfrac{A-{{B}^{2}}}{\sqrt{A}+B}$.

▪️ $\sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}=\dfrac{A-B}{{{\Big( \sqrt[3]{A} \Big)}^{2}}+\sqrt[3]{AB}+{{\Big( \sqrt[3]{B} \Big)}^{2}}}$.

▪️ $\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}=\dfrac{A+B}{{{\Big( \sqrt[3]{A} \Big)}^{2}}-\sqrt[3]{AB}+{{\Big( \sqrt[3]{B} \Big)}^{2}}}$.

▪️ $\sqrt[3]{A}-B=\dfrac{A-{{B}^{3}}}{{{\Big( \sqrt[3]{A} \Big)}^{2}}+\sqrt[3]{A}.B+{{B}^{2}}}$.

Ví dụ 8. Tính $\lim \,\Big( \sqrt{n^2+2n+3}-n \Big)$.

Lời giải

$\lim \Big( \sqrt{n^2+2n+3}-n \Big)=\lim \dfrac{n^2+2n+3-n^2}{\sqrt{n^2+2n+3}+n}$

$=\lim \dfrac{2n+3}{\sqrt{n^2+2n+3}+n}=\lim \dfrac{2+\dfrac{3}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{n^2}}+1}$

$=\dfrac{2+0}{\sqrt{1+0+0}+1}=\dfrac{2}{2}=1$.

Ví dụ 9. Tính $\lim \Big( \sqrt{4n^2+n}-2n \Big)$.

Lời giải

$\lim \Big( \sqrt{4n^2+n}-2n \Big)=\lim \dfrac{4n^2+n-4n^2}{\sqrt{4n^2+n}+2n}$

$=\lim \dfrac{1}{\sqrt{4+\dfrac{1}{n}}+2}=\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{1}{4}$. 

 

Ví dụ 10. Tính $\lim \,\Big( \sqrt[3]{n^3+n^2}-n \Big)$.

Lời giải

$\lim \Big( \sqrt[3]{n^3+n^2}-n \Big)=\lim \dfrac{n^3+n^2-n^3}{{{\Big( \sqrt[3]{n^3+n^2} \Big)}^{2}}+n.\sqrt[3]{n^3+n^2}+n^2}$

$=\lim \dfrac{1}{{{\Big( \sqrt[3]{1+\dfrac{1}{n}} \Big)}^{2}}+\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{n}}+1}=\dfrac{1}{3}$. 

Dạng 4. Giới hạn dãy số chứa hàm số mũ

Phương pháp:

+ Chia cả tử và mẫu cho $a^n$ với $a$ là cơ số lớn nhất.

+ Sau đó sử dụng công thức: $\lim \,\,q^n=0$ nếu $\left| q \right|<1$.

Ví dụ 11. Tính $\lim \,\dfrac{3^n-2.5^{n+1}}{2^{n+1}+5^{n}}$.

Lời giải

$\lim \dfrac{3^n-2.5^{n+1}}{2^{n+1}+5^n}=\lim \dfrac{3^n-10.5^n}{2.2^n+5^n}$

$=\lim \dfrac{\Big( \dfrac{3}{5} \Big)^n-10}{2.\Big( \dfrac{2}{5} \Big)^n+1}=\dfrac{0-10}{0+1}=-10$.

Dạng 5. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp:

+ Định nghĩa: Cấp số nhân $(u_n)$ có $\left\{ \begin{aligned} & q<1 \\ & n\to +\infty  \\ \end{aligned} \right.$ là cấp số nhân lùi vô hạn.

+ Công thức: $S=\lim {{S}_{n}}=\lim \,u_1.\dfrac{1-q^n}{1-q}=u_1.\dfrac{1-0}{1-q}=\dfrac{u_1}{1-q}$.

Ví dụ 12. Tính $S=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+...+\dfrac{1}{{{3}^{n}}}+...$.

Lời giải

$S=\dfrac{u_1}{1-q}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}$.