Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(0\,;\,-1\,;\,-1 \right)$, $B\left(-2\,;\,1\,;\,1 \right)$, $C\left(-1\,;\,3\,;\,0 \right)$,$D\left(1\,;\,1\,;\,1 \right)$. Côsin của góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\left\{ \begin{aligned}& x=\,t \\& y=1-2t \\& z=-3t \end{aligned} \right.\,\,\left(t\in \mathbb{R} \right)$ và đường thẳng $d_2:\dfrac{x}{-4}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+1}{5}$. Góc giữa hai đường thẳng $d_1,\,d_2$ là

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):\,x+y-z+2=0$ và hai đường thẳng $d:\,\left\{ \begin{aligned} & x=1+t \\ & y=t \\ & z=2+2t \end{aligned} \right.$; $d':\,\left\{ \begin{aligned} & x=3-{t}' \\ & y=1+{t}' \\ & z=1-2{t}' \end{aligned} \right.$. Biết rằng có hai đường thẳng có các đặc điểm: song song với $\left( P \right)$; cắt $d,\,d'$ và tạo với $d$ góc $30^\circ$. Khi đó, $\cos$ của góc tạo bởi hai đường thẳng bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1$ và đường thẳng $d_2$ lần lượt có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{d_1}}=(1;\,-2;\,-3)$ và $\overrightarrow{u_{d_2}}=(-4;\,1;\,5)$. Góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là

Trong không gian với hệ tọa độ$Oxyz$, cho mặt phẳng $(P ):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{2}=1$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-2}{2}.$ Biết rằng trong mặt phẳng $(P)$ có hai đường thẳng $d_1$, $d_2$ cùng đi qua điểm $A(1;-1;1)$ và cùng cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $1$. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d_1$, $d_2$. Giá trị $\sin \varphi$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $2$ đường thẳng $d_1:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-1}{-m}=\dfrac{z-2}{-3}$, $d_2:\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$. Giá trị nào dưới đây của $m$ thỏa mãn $d_1$ vuông góc với $d_2$?