Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (6 điểm)
(2 điểm) Một chất điểm có khối lượng $m = 100$ g dao động điều hòa theo phương trình: \(x=5\sin\left(2\pi t+\dfrac{\pi}{6}\right)\) (cm). Lấy \(\pi^2=10\). Xác định li độ, vận tốc, gia tốc trong các trường hợp sau:
a. Ở thời điểm $t=5$ s.
b. Khi pha dao động là 120o.
Hướng dẫn giải
Từ phương trình \(x=5\sin\left(2\pi t+\dfrac{\pi}{6}\right)\) (cm)
\(\Rightarrow A=5\) cm; \(\omega=2\pi\) rad/s
Ta có: \(\text{v}=x'=\omega A\cos\left(\omega t+\varphi\right)=2\pi.5.\cos\left(2\pi t+\dfrac{\pi}{6}\right)=10\pi\cos\left(2\pi t+\dfrac{\pi}{6}\right)\) cm/s
a. Ở thời điểm $t=5$ s
Ta có: \(x=5\sin\left(2\pi.5+\dfrac{\pi}{6}\right)=2,5\) cm
\(\text{v}=10\pi\cos\left(2\pi.5+\dfrac{\pi}{6}\right)=5\sqrt{30}\) cm/s
\(a=-\omega^2x=-\left(2\pi\right)^2.2,5=-100\) cm/s2
b. Khi pha dao động là 120o.
\(x=5\sin120^o=2,5\sqrt{3}\) cm
\(v=10\pi\cos120^o=-5\pi\) cm/s
\(a=-\omega^2x=-4\pi^2.2,5\sqrt{3}=-\sqrt{3}\) cm/s2
(2 điểm) Hình dưới mô tả sự biến thiên vận tốc theo thời gian của một vật dao động điều hòa.
a. Viết phương trình vận tốc theo thời gian.
b. Viết phương trình li độ và gia tốc theo thời gian.
Hướng dẫn giải
a. Dựa vào đồ thị ta có:
Chu kì \(T=2s\), suy ra tần số góc \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi\) rad/s
Vận tốc cực đại của dao động: \(\text{v}_{max}=\omega A\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{\text{v}_{max}}{\omega}=\dfrac{4}{\pi}\) cm
Thời điểm $t=0$, vật có \(\text{v}=\text{v}_{max}\), suy ra vật ở VTCB và \(\text{v}>0\)
Khi đó: \(x=0\Rightarrow\cos\varphi=0\Rightarrow\varphi=-\dfrac{\pi}{2}\)
Phương trình của vận tốc có dạng: \(\text{v}=\omega A\cos\left(\omega t+\varphi+\dfrac{\pi}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\text{v}=4\cos\left(\pi t-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)=4\cos\left(\pi t\right)\) (cm/s)
b. Phương trình dao động điều hòa có dạng: \(x=A\cos\left(\omega t+\varphi\right)\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{4}{\pi}\cos\left(\pi t-\dfrac{\pi}{2}\right)\) (cm)
Phương trình của gia tốc có dạng: \(a=\omega^2A\cos\left(\omega t+\varphi+\pi\right)\)
\(\Rightarrow a=\pi^2.\dfrac{4}{\pi}\cos\left(\pi t-\dfrac{\pi}{2}+\pi\right)=4\pi\cos\left(\pi t+\dfrac{\pi}{2}\right)\) (cm/s2)
(2 điểm) Một vật có khối lượng 2 kg dao động điều hoà với tần số góc 5 rad/s và biên độ 8 cm.
a) Khi vật có li độ \(x=4\) cm thì động năng và thế năng của vật là bao nhiêu?
b) Tại li độ nào thì thế năng bằng động năng?
Hướng dẫn giải
a. Cơ năng của vật dao động điều hòa là:
\(W=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2=\dfrac{1}{2}.2.5^2.0,08^2=0,16\) J
Khi vật có li độ \(x=4\) cm hay \(x=\dfrac{A}{2}\) thì thế năng của vật là:
\(W_t=\dfrac{1}{2}m\omega^2x^2=\dfrac{1}{2}m\omega^2.\left(\dfrac{A}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}W=\dfrac{1}{4}.0,16=0,04\) J
Động năng của vật là:
\(W_đ=W-W_t=0,16-0,04=0,12\) J
b. Thế năng bằng động năng nên ta có:
\(W_t=\dfrac{W}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{2}m\omega^2x^2=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2\)
\(\Rightarrow x=\pm\dfrac{A}{\sqrt{2}}.\)