Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (7 điểm)
Bài 1. (2 điểm)
Đánh giá kết quả cuối học kỳ I của lớp 8A của một trường THCS số liệu được ghi theo bảng
sau:
| Mức | Tốt | Khá | Đạt | Chưa đạt |
| Số học sinh | 16 | 11 | 10 | 3 |
a) Số học sinh Tốt và học sinh Khá của lớp mỗi loại chiếm bao nhiêu phần trăm?
b) Cô giáo thông báo tỉ lệ học sinh xếp loại Chưa đạt của lớp chiếm trên 7% có đúng không?
Hướng dẫn giải
a) Tổng số học sinh của lớp là: 40.
Số học sinh Tốt chiếm số phần trăm là:
16 : 40 . 100% = 40%
Số học sinh Khá chiếm số phần trăm là:
11 : 40 . 100% = 27,5%
b) Số học sinh xếp loại Chưa đạt chiếm số phần trăm là:
3 : 40 . 100% = 7,5%
Cô giáo thông báo tỉ lệ học sinh xếp loại Chưa đạt của lớp chiếm trên 7% là đúng.
Bài 2. (2 điểm)
a) Gieo một con xúc xắc 40 lần liên tiếp, có 22 lần xuất hiện mặt 4 chấm. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 4 chấm".
b) Gieo một con xúc xắc 18 lần liên tiếp, có 10 lần xuất hiện mặt 6 chấm. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 6 chấm".
c) Gieo một con xúc xắc 40 lần liên tiếp, có 18 lần xuất hiện mặt 1 chấm. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 1 chấm".
d) Gieo một con xúc xắc 20 lần liên tiếp, có 14 lần xuất hiện mặt 3 chấm. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 3 chấm".
Hướng dẫn giải
a) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 4 chấm" là $\dfrac{22}{40} = \dfrac{11}{20}$.
b) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 6 chấm" là $\dfrac{18}{40} = \dfrac{9}{20}$.
c) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 1 chấm" là $\dfrac{14}{40} = \dfrac{7}{20}$.
d) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 3 chấm" là $\dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10}$.
Bài 3: (2 điểm) Cho tam giác $ABC$, đường trung tuyến $AD$. Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AM=\dfrac{1}{2} M C$. Gọi $O$ là giao điểm của $BM$ và $AD$. Chứng minh rằng
a) $O$ là trung điểm của $AD$.
b) $OM=\dfrac{1}{4} BM$.
Hướng dẫn giải
a) Qua $D$ vẽ một đường thẳng song song với $BM$ cắt $AC$ tại $N$.
Xét $\Delta MBC$ có $DB = DC$ và $DN$ // $BM$ nên $MN=NC=\dfrac{1}{2} MC$ (định lí đường trung bình của tam giác).
Mặt khác $AM=\dfrac{1}{2} MC$, do đó $AM=MN=\dfrac{1}{2} MC$.
Xét $\Delta AND$ có $AM=MN$ và $BM$ // $DN$ nên $OA=OD$ hay $O$ là trung điểm của $AD$.
b) Xét $\Delta AND$ có $OM$ là đường trung bình nên $OM=\dfrac{1}{2} DN$ (1)
Xét $\Delta MBC$ có $DN$ là đường trung bình nên $DN=\dfrac{1}{2} BM$. (2)
Từ (1) và (2) ta có $OM=\dfrac{1}{4} BM$.
Bài 4: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: $D(x)=2x^2+3 y^2+4 z^2-2(x+y+z)+2$.
Hướng dẫn giải
$D(x)=2\left(x^2-x\right)+\left(3 y^2-2 y\right)+\left(4 z^2-2 z\right)+2$
$=2\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+3\left(y^2-\frac{2}{3} y+\dfrac{1}{9}\right)+\left[(2 z)^2-2 z+\dfrac{1}{4}\right]+2-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}$
$=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+3\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(2 z-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{2} \geq \dfrac{11}{2}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $D$ là: $\dfrac{11}{2}$ tại $(x, y, z)=\left(\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{4}\right)$.