Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (7 điểm)
Bài 1: (1 điểm) Hàm số $y=f\left(x \right)$ được xác định bởi công thức $y=f\left(x \right)=3\sqrt{x}+5$. Tính các giá trị $f\left(4 \right); \, f\left(\dfrac{1}{9} \right)$.
Hướng dẫn giải
+ Thay giá trị $x=4$ vào công thức hàm số $y=f\left(x \right)=3\sqrt{x}+5$ ta được:
$f\left(4 \right)=3\sqrt{4}+5=3\sqrt{2^2}+5=3\left| 2 \right|+5=3.2+5=11$ (Vì $2>0$)
Vậy $f\left(4 \right)=11$.
+ Thay giá trị $x=\dfrac{1}{9}$ vào công thức hàm số $y=f\left(x \right)=3\sqrt{x}+5$ ta được:
$f\left(\dfrac{1}{9} \right)=3\sqrt{\dfrac{1}{9}}+5=3\sqrt{{{\left(\dfrac{1}{3} \right)}^2}}+5=3. \left| \dfrac{1}{3} \right|+5=3-\dfrac{1}{3}+5=6$
Vậy $f\left(\dfrac{1}{9} \right)=6$.
Bài 2. (3 điểm) Cho hàm số bậc nhất $y=ax+2$.
a) Xác định hệ số góc $a$, biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm $M\left(1;3 \right)$.
b) Vẽ đồ thị của hàm số.
c) Tính góc hợp bởi đồ thị hàm số với trục hoành.
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị hàm số $y=ax+2$ đi qua điểm $M\left(1;3 \right)$ nên: $3=a.1+2\Leftrightarrow a=1$.
Vậy đường thẳng có hệ số góc là: $a=1$.
b) Đồ thị cần tìm là: $y=x+2$.
Cho $x=0$ thì $y=2$. Đồ thị đi qua điểm $B\left(0;2 \right)$;
Cho $y=0$ thì $x+2=0$ hay $x=-2$. Đồ thị đi qua điểm $A\left(0;2 \right)$.
Từ đây ta có đồ thị hàm số:
c) Tam giác $OAB$ có $OA=OB=2$ (cm) nên: $\Delta OAB$ cân tại $O$.
Mặt khác: $\widehat{AOB}={{90}^{\circ}}$.
Do đó $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\dfrac{{{90}^\circ}}{2}={{45}^\circ}$.
Cho tam giác $ABC$, trung tuyến $AM$. Phân giác của $\widehat{AMB}$ cắt $AB$ ở $D$, phân giác của $\widehat{AMC}$ cắt $AC$ ở $E$.
a) Chứng minh $DE$ song song với $BC$.
b) Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $AM$. Chứng minh $I$ là trung điểm của $DE$.
Hướng dẫn giải
a) Theo tính chất đường phân giác ta có $\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{MA}{MB}$ và $\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{MA}{MC}$.
Mặt khác $MB=MC$ nên $\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{EA}{EC}$.
Theo định lí Thalès đảo ta được $DE$ // $BC$.
b) Theo câu a ta có $DE$ // $BC$ nên $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$.
Xét định lí Thalès cho $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ ta có $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DI}{BM}$ và $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{IE}{CM}$.
Từ đó suy ra $\dfrac{DI}{BM}=\dfrac{IE}{CM}$ mà $MB=CM$ nên $DI=IE$ hay $I$ là trung điểm của $DE$.
Bài 4. (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của $E\left(x \right)=2{{x}^{2}}+8xy+11{{y}^{2}}-4x-2y+6$.
Hướng dẫn giải
Ta có: $E\left(x \right)=2\left({{x}^{2}}+4xy+4{{y}^{2}} \right)+3{{y}^{2}}-4x-2y+6$
$=\left[ 2{{\left(x+2y \right)}^{2}}-4\left(x+2y \right)+2 \right]+3{{y}^{2}}+6y+4$
$=2{{\left(x+2y-1 \right)}^{2}}+3{{\left(y+1 \right)}^{2}}+1\ge 1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $E$ là: $1$ tại $\left\{ \begin{aligned} & x+2y-1=0 \\ & y+1=0 \\ \end{aligned} \right.$ hay $\left\{ \begin{aligned} & x=3 \\ & y=-1 \\ \end{aligned} \right.$