Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (7 điểm)
Bài 1 (1,5 điểm).
a) Phân tích số $270$ thành tích các thừa số nguyên tố.
b) Tìm ước chung lớn nhất rồi tìm ước chung của $180$ và $84$.
Hướng dẫn giải
a) Phân tích bằng sơ đồ cây hoặc cột dọc.
Ta có: $270 = 2.3^3.5$.
b) $180 = 2^2.3^2.5$
$84 = 2^2.3.7$
ƯCLN $(180, 84) = 2^2. 3 = 12$.
ƯC $(180, 84) = $Ư$(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12 \}$.
Bài 2 (1,5 điểm). Thực hiện phép tính (bằng cách hợp lí nếu có thể)
a) $85.18 + 18.16 – 18$;
b) $5^{20} : (5^{15}.6 + 5^{15}.19)$;
c) $720-\left\{ 40.\left[ \left(120-70 \right):25+2^3 \right] \right\}+2\,024^0$.
Hướng dẫn giải
a) $85.18 + 18.16 - 18$
$= 18. (85 + 16 - 1)$
$= 1\,800.$
b) $5^{20} : (5^{15}.6 + 5^{15}.19)$
$= 5^{20} : 5^{15}.(6 + 19) = 5^3$
$= 125.$
c) $720-\left\{ 40.\left[ \left(120-70 \right):25+2^3 \right] \right\}+2\,024^0$
$= 720-\left\{ 40.\left[50:25+8 \right] \right\}+1$
$= 321$.
Bài 3 (1 điểm). Tìm $x$, biết:
a) $15x + 25 = 100$;
b) $4.2^x -3=125$.
Hướng dẫn giải
a) $15x+25=100$
$15x=100-25$
$15x=75$
$x=75:15$
$x=5$
Vậy $x=5$.
b) $4.2^x-3=125$
$4.2^x=125+3$
$4.2^x=128$
$2^x=128:4$
$2^x=32$
$2^x=2^5$
$x=5$
Vậy $x=5$.
Bài 4 (1 điểm). Một trường THCS có khoảng từ $400$ đến $600$ học sinh; khi xếp hàng $12$, hàng $15$, hàng $18$ đều vừa đủ hàng. Tính số học sinh của trường đó.
Hướng dẫn giải
Gọi $x$ là số học sinh của trường. $(x\in \mathbb{N}^*, 400\le x\le 600)$
Vì khi xếp hàng $12$, hàng $15$, hàng $18$ đều vừa đủ hàng nên $x$ chia hết cho $12 ;\, 15;\, 18$
Tức là $x\in $BC$\left( 12,\,15,\,18 \right)$
$12 = 2^2 .3; 15 = 3.5 ; 18 = 2. 3^2 $
BCNN$(12,\,15,\,18)=2^2.3^2.5=180$
BC$(12,\,15,\,18)=$B$(180)=\left\{ 0;\,180;\,360;\,540;\,720;... \right\}$
Mà $x\in \mathbb{N}^*, 400\le x\le 600$ nên $x = 540$
Vậy số học sinh của trường là $540$ học sinh.
Bài 5 (1,5 điểm). Một mảnh vườn hình chữ nhật dài $10$ m và rộng $8$ m. Người ta làm lối đi rộng $1$ m xung quanh vườn, phần còn lại để trồng rau.
a) Tính diện tích mảnh vườn.
b) Tính diện tích phần đất để trồng rau.
c) Người ta lát toàn bộ lối đi bằng những viên gạch hình vuông có cạnh $20$ cm. Hỏi họ cần dùng bao nhiêu viên gạch như thế? (giả sử phần mạch vữa không đáng kể).
Hướng dẫn giải
a) Diện tích mảnh vườn là: $10.8=80 ($m$^2)$
b) Phần đất để trồng rau là một hình chữ nhật có chiều dài là: $10 - 1 - 1 = 8$ (m)
Chiều rộng phần đất trồng rau đó là: $8 - 1 - 1 = 6$ (m)
Diện tích vườn để trồng rau là: $8.6=48($ m$^2)$
c) Diện tích lối đi là $80-48=32( $m$^2)$
Đổi $32 $m$^2 = 320\,000$ cm$^2$
Diện tích một viên gạch là $20. 20 = 400 ($cm$^2)$
Số viên gạch cần dùng để lát lối đi là: $320\,000 : 400 = 800$ (viên)
Bài 6 (0,5 điểm). Cho $A=3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+3^{x+4}+\ldots .+3^{x+100}$ với $x \in \mathbb{N}$.
Chứng tỏ $ A$ chia hết cho $120$.
Hướng dẫn giải
$A=3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+3^{x+4}+\ldots .+3^{x+100}$
$A=3^x.(3+3^2+3^3+3^4)+...+3^{x+96}.(3+3^2+3^3+3^4) $
$ A=3^x.120+...+3^{x+96}.120 $
$ A=120.(3^x+3^{x+5}+...+3^{x+96})\vdots 120 $
Vậy $A$ chia hết cho $120$.