Phương pháp chứng minh trực tiếp

Nếu $n$ lẻ thì $n$ có dạng $n = 2k+1$ với $k \in \mathbb{N}$.

Do đó $n^3 = (2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k+1 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k) + 1$.

Suy ra $n^3$ lẻ.

Vậy với mọi số tự nhiên $n$, nếu $n$ lẻ thì $n^3$ lẻ.

Nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n = 3k$ với $k \in \mathbb{N}$.

 Xét $k=2m$ thì $n = 6m$ suy ra $n(n+1) = 6m(6m+1)$ chia hết cho $6$.

 Xét $k = 2m+1$ thì $n = 3(2m+1) = 6m+3$.

Suy ra $n(n+1) = (6m+3)(6m+4) = 3.(2m+1).2(3m+2) = 6.(2m+1).(3m+2)$ chia hết cho $6$.

Vậy với mọi số tự nhiên $n$, nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n(n+1)$ chia hết cho $6$.

Ta có $4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy$

$\Leftrightarrow (x^2 - 4xy + 4y^2) + 3(x^2 + 2x +1) \ge 0$

$\Leftrightarrow (x-2y)^2 + 3(x +1)^2 \ge 0$ (luôn đúng với mọi $x$, $y$).

Vậy với mọi $x$, $y$ ta có $4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy$.

Ta có $\dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}2$

$\Leftrightarrow 2(ax+by) \ge (a + b)(x + y)$

$\Leftrightarrow 2(ax+by) \ge ax + ay + bx + by$

$\Leftrightarrow ax + by - ay - bx \ge 0$

$\Leftrightarrow (a - b)(x - y) \ge 0$ (luôn đúng vì giả thiết $a \ge b$ và $x \ge y$).

Vậy nếu $a \ge b$, $x \ge y$ thì $\dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}2$.