Tóm tắt kiến thức: Công thức lượng giác

1. Công thức lượng giác cơ bản

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1$;

$\tan \alpha .\cot \alpha =1$;

$1+\tan^2 \alpha =\dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$;

$\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$;

$\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$;

$1+\cot^2 \alpha =\dfrac{1}{\sin^2 \alpha}$.

2. Công thức cộng

$\cos (a-b)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b$

$\cos (a+b)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b$

$\sin (a-b)=\sin a.\cos b-\cos a.\sin b$

$\sin (a+b)=\sin a.\cos b+\cos a.\sin b$

$\tan (a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$

$\tan (a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$

3a. Công thức nhân đôi

$\cos 2a=\cos^2 a- \sin^2 a=2\cos^2 a-1$

$\sin 2a=2\sin a.\cos a$

$\tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1-{{\tan }^{2}}a}$

3b. Công thức hạ bậc

$\cos^2 a=\dfrac{1+\cos 2a}{2}$

$\sin^2 a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}$

4a. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\cos a.\cos b=\dfrac{1}{2}\left[ \cos (a-b)+\cos (a+b) \right]$

$\sin a.\cos b=\dfrac{1}{2}\left[ \sin (a-b)+\sin (a+b) \right]$

$\sin a.\sin b=\dfrac{1}{2}\left[ \cos (a-b)-\cos (a+b) \right]$

4b. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\cos a+\cos b=2\cos \dfrac{a+b}{2}\cos \dfrac{a-b}{2}$

$\cos a-\cos b=-2\sin \dfrac{a+b}{2}\sin \dfrac{a-b}{2}$

$\sin a+\sin b=2\sin \dfrac{a+b}{2}\cos \dfrac{a-b}{2}$

$\sin a-\sin b=2\cos \dfrac{a+b}{2}\sin \dfrac{a-b}{2}$

$\tan a\pm \tan b=\dfrac{\sin (a\pm b)}{\cos a.\cos b}$.

Dạng 1. Áp dụng công thức

Ví dụ 1. Cho $x,$; $y$ là các góc nhọn, $\cot x=\dfrac{3}{4}$, $\cot y=\dfrac{1}{7}$. Tổng $x+y$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$\tan \left( x+y \right)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x.\tan y}=\dfrac{\dfrac{4}{3}+7}{1-\dfrac{4}{3}.7}=-1$, suy ra $x+y=\dfrac{3\pi }{4}$.

Rút gọn biểu thức $\cos \left(120^\circ - x \right)+\cos \left(120^\circ +\ x \right) - \cos x$ , ta được kết quả là

-\cos x.

0.

\sin x\cos x.

-2\cos x.

Nếu $\cos \alpha +\sin \alpha =\sqrt{2},\,\Big(0<\alpha <\dfrac{\pi }{2} \Big)$ thì $\alpha$ bằng

\dfrac{\pi }{3}

\dfrac{\pi }{4}

\dfrac{\pi }{6}

\dfrac{\pi }{8}

Biết $\sin x=\dfrac13$ và $90^\circ<x<180^\circ$ thì biểu thức $\dfrac{1+\sin 2x+\cos 2x}{1+\sin 2x-\cos 2x}$ bằng

\dfrac{-1}{2\sqrt2}

\dfrac1{2\sqrt2}

-2\sqrt{2}

2\sqrt{2}

Cho góc $\alpha, \, \left(0^\circ <\alpha <180^\circ \right)$ thỏa mãn $\tan \alpha =3$ .

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) $\cot \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ .
b) $\cos \alpha >0$ .
c) $\sin \alpha =\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ .
d) $\dfrac{2\sin\alpha -3\cos\alpha }{3\sin\alpha +2\cos\alpha }=\dfrac{-3}{11}$ .

Dạng 2. Nhận diện tam giác

Ví dụ 2. Nếu hai góc $B$ và $C$ của tam giác $ABC$ thoả mãn: $\tan B \sin^2 C=\tan C \sin^2 B$ thì tam giác này có đặc điểm gì?

Lời giải

Giả thiết $\dfrac{\sin B}{\cos B}.{{\sin }^{2}}C=\dfrac{\sin C}{\cos C}.{{\sin }^{2}}B$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\cos B}.\sin C=\dfrac{1}{\cos C}.\sin B$

$\Leftrightarrow \sin C\cos C=\sin B\cos B \Leftrightarrow \sin B\cos B-\sin C\cos C=0$

$\Leftrightarrow \sin \left( B-C \right)=0 \Leftrightarrow B-C=0$

$\Leftrightarrow B=C$.

Vậy tam giác đã cho cân tại $A$.

Bài học liên quan