Tương giao giữa các đồ thị hàm số chứa tham số

Vì đồ thị hàm số cắt đường thẳng $y=-x+3$ tại điểm có tung độ bằng $2$ nên giao điểm đó có hoành độ $x$ thỏa mãn: $2=-x+3$ hay $x=1$.

Thay $x=1, \, y=2$ vào (1) ta có:

$ 2=( 1-m ).1^2$

$1-m=2 $

$m=-1$.

Vậy giá trị $m$ thỏa mãn điều kiện bài toán là $m=-1$.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $(P)$ và $(d)$ là

$ \dfrac12x^2=2x+m $

$x^2=4x+2m$

$x^2-4x-2m=0$

$\Delta'=( -2 )^2-1.( -2m )=4+2m$

$(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt khi $\Delta'>0$

$4+2m>0$

$m>-2$.

Vậy $m>-2$ là giá trị cần tìm.

Hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$ là nghiệm của phương trình:

$x^2=(m-1)x+m+4$

$x^2-(m-1)x-m-4=0$ (1)

$(P)$ cắt $d$ tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hay $ac<0 $

$-m-4<0$

$m>4$.

Vậy $m>4$ thì $(P)$ cắt $d$ tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P): \, y=x^2$ và $(d): \, y=-x+m+2$:

$x^2=-x+m+2$

$x^2+x-m-2=0$ (1).

Để $(d)$ và $(P)$ có một điểm chung duy nhất thì phương trình (1) có nghiệm kép

$\Delta =0$

$1^2-4.1.( -m-2 )=0$

$1+4m+8=0$

$4m=-9$

$m=\dfrac{-9}{4}$.

Vậy $m=-\dfrac{9}{4}$ là giá trị cần tìm.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là

$x^2=2mx+2m-3$

$x^2-2mx-2m+3=0$ (1)

$\Delta'=( -m )^2-( -2m+3)=m^2+2m-3$

Để $(d)$ tiếp xúc với parabol $(P)$ thì phương trình (1) có nghiệm kép hay $\Delta'=0$

$m^2+2m-3=0$

$(m-1)(m+3)=0 $

$m=1$ hoặc $m=-3$

Vậy $m=1$ hoặc $m=-3$ là các giá trị cần tìm.