Tập hợp các số hữu tỉ

1. Khái niệm số hữu tỉ và biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

a. Số hữu tỉ là gì?

Ví dụ 1: Ta có thể viết \(1,5 = \displaystyle\frac{3}{2}= \frac{6}{4} =\frac{9}{6}= \ ...\)

Các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau của cùng một số, số đó gọi là số hữu tỉ.

Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số \(\displaystyle \frac{a}{b}\) với \(a,\ b \in \mathbb{R}\), \(b \ne 0\).

Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là $\mathbb{Q}$.

Chú ý: Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối. Số đối của số hữu tỉ $m$ là số hữu tỉ $-m$.

Chú ý: Vì các số thập phân đã biết đều viết được dưới dạng phân số thập phân nên chúng đều là các số hữu tỉ. Tương tự, số nguyên, hỗn số cũng là các số hữu tỉ.

b. Cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Ta đã biết cách biểu diễn các số nguyên trên trục số. Chẳng hạn, đây là hình biểu diễn các số nguyên $-2$; $-1$; $0$; $1$; $2$ trên trục số:

 - Tương tự số nguyên, ta có thể biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số. Chẳng hạn, để biểu diễn số hữu tỉ $\displaystyle\frac{3}{2}$ ta làm như sau:

+ Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ $0$ đến $1$ thành hai đoạn bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới (đơn vị mới bằng $\displaystyle\frac{1}{2}$ đơn vị cũ).

+ Số hữu tỉ $\displaystyle\frac{3}{2}$ được biểu diễn bởi điểm $M$ nằm sau gốc $O$ và cách $O$ bằng $3$ đơn vị mới.

Tương tự, số hữu tỉ $\displaystyle-\frac{3}{2}$ được biểu diễn bởi điểm $N$ nằm trước gốc $O$ và cách $O$ bằng bằng $3$ đơn vị mới.

Do đó $OM = ON$.

- Số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{3}{2} = 1,5\) nên $1,5$ cũng được biểu diễn bởi điểm $M$.

Số hữu tỉ \(\displaystyle-\frac{3}{2}=\displaystyle-\frac{6}{4}\) nên $\displaystyle-\frac{6}{4}$ cũng được biểu diễn bởi điểm $N$.

- Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ $a$ được gọi là điểm $a$. 

Chú ý: Trên trục số, hai điểm biểu diễn của hai số hữu tỉ đối nhau  $a$ và $-a$ nằm về hai phía khác nhau so với điểm $O$ và có cùng khoảng cách đến $O$.

2. Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ

- Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bất kì bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.

- Với hai số hữu tỉ $a$, $b$ bất kì, ta luôn có hoặc $a = b$ hoặc $a < b$ hoặc $a > b$.

Cho ba số hữu tỉ $a$, $b$, $c$. Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$ (tính chất bắc cầu).

- Trên trục số, nếu $a < b$ thì điểm $a$ nằm trước điểm $b$.

Chú ý: Trên trục số, các điểm nằm trước gốc $O$ biểu diễn số hữu tỉ âm (tức là số hữu tỉ nhỏ hơn $0$); các điểm nằm sau gốc $O$ biểu diễn số hữu tỉ dương (tức là số hữu tỉ lớn hơn $0$). Số 0 không là số hữu tỉ dương, cũng không là số hữu tỉ âm.

Ví dụ 2: So sánh $0,7$ và $\displaystyle \frac{6}{5}$. Từ đó cho biết điểm $0,7$ nằm trước hay nằm sau điểm $\displaystyle \frac{6}{5}$.

Giải

Ta có: $0,7 = \displaystyle \frac{7}{10}$ và $\displaystyle \frac{6}{5} = \frac{12}{10}$.

Vì $\displaystyle \frac{7}{10}$ < $\displaystyle\frac{12}{10}$ nên $0,7 < \displaystyle \frac{6}{5}$.

Do đó điểm $0,7$ nằm trước điểm $\displaystyle \frac{6}{5}$ trên trục số.

Nhận xét: Ta cũng có thể sử dụng tính chất bắc cầu để so sánh $0,7$ và $\displaystyle \frac{6}{5}$ bằng cách như sau:

Vì $0,7 < 1$ và  $1 < \displaystyle \frac{6}{5}$ nên $0,7 < \displaystyle \frac{6}{5}$.