Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận
(1,75 điểm):
Cho biết hai đại lượng ${x}$ và $ {y}$ tỉ lệ tỉ lệ thuận với nhau và khi $ {x}=5$ thì $ {y}=-4$.
a) Tìm hệ số tỉ lệ $ {k}$ trong công thức $ {y}= {kx}$;
b) Biểu diễn $y$ theo $ {x}$;
c) Tính giá trị của $y$ khi $x=-10 ; x=2$.
Hướng dẫn giải
a. Ta có: $k=\dfrac{y}{x}=\dfrac{-4}{5}$;
b. Biểu diễn $y$ theo $x: y=\dfrac{-4}{5} x$;
c. Khi $x=-10$ thì $y=\dfrac{-4}{5} x=\dfrac{-4}{5} .(-10)=8$
Khi $x=2$ thì $y=\dfrac{-4}{5} .x=\dfrac{-4}{5} .2=\dfrac{-8}{5}$.
(2,25 điểm).
Cho tam giác $ {ABC}$ có số đo các góc $ {A}, {B}, {C}$ lần lượt tỉ lệ với các số $2 ; 4 ; 6$.
a) Tính số đo các góc của tam giác $A B C$.
b) Hãy sắp xếp các cạnh tam giác $ {ABC}$ theo thứ tự từ bé đến lớn.
Hướng dẫn giải
a) Gọi a, b, c lần lượt là số đo của ba góc ${A}, {B}, {C}, ( {a}, {b}, {c} \in \mathbb{N}^*$ đơn vị:$ ^{\circ})$. Vì số đo các góc $A, B, C$ lần lượt tỉ lệ với các số $2 ; 4 ; 6$. nên:
$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{6}$ và ${a}+ {b}+ {c}=180^{\circ}$
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{6}=\dfrac{a+b+c}{2+4+6}=\dfrac{180}{12}=15^{\circ}$
Suy ra:
$\dfrac{a}{2}=15^{\circ} \Rightarrow a=30^{\circ} ; \dfrac{b}{4}=15^{\circ} \Rightarrow b=60^{\circ} ; \dfrac{c}{6}=15^{\circ} \Rightarrow c=90^{\circ}$ (thỏa mãn)
Vậy số đo của ba góc $A, B, C$ lần lượt là $30^{\circ}; 60^{\circ}; 90^{\circ}$.
b) Vì $\widehat{A}<\widehat{B}<\widehat{C}$ nên ${BC}< {AC}< {AB}$.
(2 điểm)
Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$. Tia phân giác góc $B$ cắt $A C$ tại $D$. Từ $D$ kẻ $D H$ vuông góc với $ {BC}$.
a) So sánh: $ {BA}$ và $ {BC}$.
b) Chứng minh: $ {DA}= {DH}$.
c) So sánh: $ {DC}$ và $ {DA}$.
Hướng dẫn giải
a) ${BA}< {BC}$ ( Quan hệ đường vuông góc và đường xiên)
b)Xét hai tam giác vuông ${ABD}$ và ${HBD}$, ta có:
$\widehat{B A D}=\widehat{B H D}=90^{\circ}$
$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (vì $BD$ là tia phân giác của góc $ABC$).
Cạnh huyền $BD$ chung.
Suy ra $\Delta ABD = \Delta HBD$ (cạnh huyền, góc nhọn).
Suy ra $AD = HD$ (2 cạnh tương ứng) (1).
c) Trong tam giác vuông $ {DHC}$ có $ \widehat{DHC}=90^{\circ}$. Suy ra $ {DH}< {DC}$ (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $ {AD}< {DC}$.
(1 điểm)
Ba đội cùng chuyển một khối lượng gạch như nhau. Thời gian để đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba làm xong công việc lần lượt là $2$ giờ, $3$ giờ, $4$ giờ. Tính số người tham gia làm việc của mỗi đội, biết rằng số người của đội thứ ba ít hơn số người của đội thứ hai là $5$ người và năng suất lao động của mỗi người như nhau.
Hướng dẫn giải
Gọi số công nhân tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là $ {x}, {y}, {z}$ $(x,y,z \in \mathbb{N}^*,$ đơn vị: người $)$.
Số công nhân của đội thứ ba ít hơn số công nhân của đội thứ hai là $5$ người nên ${y}- {z}=5.$
Với cùng một khối lượng công việc, số công nhân tham gia làm việc và thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Do đó, ta có $2 x=3 y=4 z$, hay $\dfrac{x}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{y}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{z}{\dfrac{1}{4}}$.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tính $ {x}, {y}, {z}$, ta có:
$\dfrac{x}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{y}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{z}{\dfrac{1}{4}}= \dfrac{y-z}{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{5}{\dfrac{1}{12}}=60$.
Vậy $x=30;y=20;z=15$ (người).
Kết luận: số công nhân tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là $30$ người, $20$ người, $15$ người.