Question

[Thầy Cao Đô]

Cho tam giác $ABC$, hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$. Gọi $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của $GB$ và $GC$. Chứng minh rằng

a) $MN$ // $ DE$.                                    

b) $ND$ // $ ME$.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C M N G D E

a/

Xét tg ABC có

NA=NB; MA=MC => MN là đường trung bình của tg ABC => MN//BC

Xét tg GBC có

DG=DB; EG=EC => DE là đường trung bình của tg GBC => DE//BC

=> MN//DE (cùng // BC)

b/

Xét tg ABG có

NA=NB; DG=DB => ND là đường trung bình của tg ABG => ND//AG

Xét tg ACG có

MA=MC; EG=EC => ME là đường trung bình của tg ACG => ME//AG

=> ND//ME (cùng // với AG)

Answer 2

[Phạm Thảo Nguyên]

a) Vì $BM$, $CN$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $MA=MC$, $NA=NB$.

Do đó $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra $MN$ // $BC$. (1)

Ta có $DE$ là đường trung bình của $\Delta GBC$ nên $DE$ // $BC$.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN$ // $DE$.

b) Xét $\Delta ABG$, ta có $ND$ là đường trung bình.

Xét $\Delta ACG$, ta có $ME$ là đường trung bình.

Do đó $ND$ // $AG$, $ME$ // $AG$.

Suy ra $ND$ // $ME$.

Answer 3

[Lê Mai Linh]

  

Answer 4

[Nguyễn Phương Thảo]

  

Answer 5

[Nguyễn Văn Tiến Đạt]

Answer 6

[Đỗ Tâm Anh]

Answer 7

[Nguyễn Thị Bảo Ngọc]

Answer 8

[Nguyễn Lan Hương]

 

Answer 9

[Mạc Hoàng Hiệp]

  

Answer 10

[Nguyễn Thị Mai Anh]

a) Vì $BM$, $CN$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $MA=MC$, $NA=NB$.

Do đó $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra $MN$ // $BC$. (1)

Ta có $DE$ là đường trung bình của $\Delta GBC$ nên $DE$ // $BC$.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN$ // $DE$.

b) Xét $\Delta ABG$, ta có $ND$ là đường trung bình.

Xét $\Delta ACG$, ta có $ME$ là đường trung bình.

Do đó $ND$ // $AG$, $ME$ // $AG$.

Suy ra $ND$ // $ME$.

Answer 11

[Nguyễn Thị Mai Anh]

a) Vì $BM$, $CN$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $MA=MC$, $NA=NB$.

Do đó $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra $MN$ // $BC$. (1)

Ta có $DE$ là đường trung bình của $\Delta GBC$ nên $DE$ // $BC$.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN$ // $DE$.

b) Xét $\Delta ABG$, ta có $ND$ là đường trung bình.

Xét $\Delta ACG$, ta có $ME$ là đường trung bình.

Do đó $ND$ // $AG$, $ME$ // $AG$.

Suy ra $ND$ // $ME$.

Answer 12

[Trần Hồng Hạnh]

Answer 13

[Nguyễn Sơn Long]

 

Answer 14

[Nguyễn Duy Phương]

  

Answer 15

[Nguyễn Tuệ Nhi]

 

Answer 16

[Lê Tùng]

 

Answer 17

[Đỗ Cao Khánh Hòa]

 

Answer 18

[Vũ Bảo Ngọc Diệp]

a) Tam giác ABC có:

NA = NB

MA = MC

Suy ra: MN là đường trung bình của tam giác ABC

=> MN // BC (1)

MN = 12

​BC (2)

Tam giác GBC có:

DG = DB

 EG = EC

Suy ra: ED là đường trung bình của tam giác GBC

=> ED // BC (2)

 ED = 12

​BC (4)

Từ (1) và (2) suy ra: MN // DE

Từ (3) và (4) suy ra: MN = DE

Xét tứ giác NMED có:

MN // DE (cmt)

MN = DE (cmt)

Suy ra: NMED là hình bình hành

=> ND // ME (đpcm)

Answer 19

[Dương Thanh Thủy]

Δ���$a)\; Xét\; \Delta ABC$ có:

M là trung điểm của AC (BM là đường trung tuyến của Δ���(��)$\Delta ABC)$

N là trung điểm của AB (CN là đường trung tuyến của Δ���(��)$\Delta ABC)$

⇒��$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của Δ���$\Delta ABC\; (\; DHNB\; đường\; trung\; bình)$

⇒��$\Rightarrow MN$ // ��$BC$ ( t/ch ĐTB)  (1)

Δ���$\Delta ABC$ có:

D là trung điểm của GB (gt)

E là trung điểm của GC (gt)

⇒��$\Rightarrow DE$ là đường trung bình của Δ���$\Delta GBC$( DHNB đường trung bình)

⇒��$\Rightarrow DE$ // ��$BC$  ( t/ch đtb) (2) 

Từ (1) và (2) ⇒��$\Rightarrow MN$ // ��$DE\; (\; cùng\; //\; BC)$

$b)$

b) Do MN là đường trung bình của Δ���(���)$\Delta ABC\left(cmt\right)$

⇒��=��2$\Rightarrow MN=$ 1/2 BC(3)

Do DE là đường trung bình của Δ���(���)$\Delta GBC\left(cmt\right)$

Answer 20

[Dương Thanh Thủy]

Δ���$a)\; Xét\; \Delta ABC$ có:

M là trung điểm của AC (BM là đường trung tuyến của Δ���(��)$\Delta ABC)$

N là trung điểm của AB (CN là đường trung tuyến của Δ���(��)$\Delta ABC)$

⇒��$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của Δ���$\Delta ABC\; (\; DHNB\; đường\; trung\; bình)$

⇒��$\Rightarrow MN$ // ��$BC$ ( t/ch ĐTB)  (1)

Δ���$\Delta ABC$ có:

D là trung điểm của GB (gt)

E là trung điểm của GC (gt)

⇒��$\Rightarrow DE$ là đường trung bình của Δ���$\Delta GBC$( DHNB đường trung bình)

⇒��$\Rightarrow DE$ // ��$BC$  ( t/ch đtb) (2) 

Từ (1) và (2) ⇒��$\Rightarrow MN$ // ��$DE\; (\; cùng\; //\; BC)$

$b)$

b) Do MN là đường trung bình của Δ���(���)$\Delta ABC\left(cmt\right)$

⇒��=��2$\Rightarrow MN=$ 1/2 BC(3)

Do DE là đường trung bình của Δ���(���)$\Delta GBC\left(cmt\right)$

Answer 21

[Dương Thanh Thủy]

Δ���$a)\; Xét\; \Delta ABC$ có:

M là trung điểm của AC (BM là đường trung tuyến của Δ���(��)$\Delta ABC)$

N là trung điểm của AB (CN là đường trung tuyến của Δ���(��)$\Delta ABC)$

⇒��$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của Δ���$\Delta ABC\; (\; DHNB\; đường\; trung\; bình)$

⇒��$\Rightarrow MN$ // ��$BC$ ( t/ch ĐTB)  (1)

Δ���$\Delta ABC$ có:

D là trung điểm của GB (gt)

E là trung điểm của GC (gt)

⇒��$\Rightarrow DE$ là đường trung bình của Δ���$\Delta GBC$( DHNB đường trung bình)

⇒��$\Rightarrow DE$ // ��$BC$  ( t/ch đtb) (2) 

Từ (1) và (2) ⇒��$\Rightarrow MN$ // ��$DE\; (\; cùng\; //\; BC)$

$b)$

b) Do MN là đường trung bình của Δ���(���)$\Delta ABC\left(cmt\right)$

⇒��=��2$\Rightarrow MN=$ 1/2 BC(3)

Do DE là đường trung bình của Δ���(���)$\Delta GBC\left(cmt\right)$

Answer 22

[Dương Thanh Thủy]

Δ���$a)\; Xét\; \Delta ABC$ có:

M là trung điểm của AC (BM là đường trung tuyến của Δ���(��)$\Delta ABC)$

N là trung điểm của AB (CN là đường trung tuyến của Δ���(��)$\Delta ABC)$

⇒��$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của Δ���$\Delta ABC\; (\; DHNB\; đường\; trung\; bình)$

⇒��$\Rightarrow MN$ // ��$BC$ ( t/ch ĐTB)  (1)

Δ���$\Delta ABC$ có:

D là trung điểm của GB (gt)

E là trung điểm của GC (gt)

⇒��$\Rightarrow DE$ là đường trung bình của Δ���$\Delta GBC$( DHNB đường trung bình)

⇒��$\Rightarrow DE$ // ��$BC$  ( t/ch đtb) (2) 

Từ (1) và (2) ⇒��$\Rightarrow MN$ // ��$DE\; (\; cùng\; //\; BC)$

$b)$

b) Do MN là đường trung bình của Δ���(���)$\Delta ABC\left(cmt\right)$

⇒��=��2$\Rightarrow MN=$ 1/2 BC(3)

Do DE là đường trung bình của Δ���(���)$\Delta GBC\left(cmt\right)$

Answer 23

[Dương Thanh Thủy]

Δ���$a)\; Xét\; \Delta ABC$ có:

M là trung điểm của AC (BM là đường trung tuyến của Δ���(��)$\Delta ABC)$

N là trung điểm của AB (CN là đường trung tuyến của Δ���(��)$\Delta ABC)$

⇒��$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của Δ���$\Delta ABC\; (\; DHNB\; đường\; trung\; bình)$

⇒��$\Rightarrow MN$ // ��$BC$ ( t/ch ĐTB)  (1)

Δ���$\Delta ABC$ có:

D là trung điểm của GB (gt)

E là trung điểm của GC (gt)

⇒��$\Rightarrow DE$ là đường trung bình của Δ���$\Delta GBC$( DHNB đường trung bình)

⇒��$\Rightarrow DE$ // ��$BC$  ( t/ch đtb) (2) 

Từ (1) và (2) ⇒��$\Rightarrow MN$ // ��$DE\; (\; cùng\; //\; BC)$

$b)$

b) Do MN là đường trung bình của Δ���(���)$\Delta ABC\left(cmt\right)$

⇒��=��2$\Rightarrow MN=$ 1/2 BC(3)

Do DE là đường trung bình của Δ���(���)$\Delta GBC\left(cmt\right)$

Answer 24

[Dương Thanh Thủy]

Δ���$a)\; Xét\; \Delta ABC$ có:

M là trung điểm của AC (BM là đường trung tuyến của Δ���(��)$\Delta ABC)$

N là trung điểm của AB (CN là đường trung tuyến của Δ���(��)$\Delta ABC)$

⇒��$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của Δ���$\Delta ABC\; (\; DHNB\; đường\; trung\; bình)$

⇒��$\Rightarrow MN$ // ��$BC$ ( t/ch ĐTB)  (1)

Δ���$\Delta ABC$ có:

D là trung điểm của GB (gt)

E là trung điểm của GC (gt)

⇒��$\Rightarrow DE$ là đường trung bình của Δ���$\Delta GBC$( DHNB đường trung bình)

⇒��$\Rightarrow DE$ // ��$BC$  ( t/ch đtb) (2) 

Từ (1) và (2) ⇒��$\Rightarrow MN$ // ��$DE\; (\; cùng\; //\; BC)$

$b)$

b) Do MN là đường trung bình của Δ���(���)$\Delta ABC\left(cmt\right)$

⇒��=��2$\Rightarrow MN=$ 1/2 BC(3)

Do DE là đường trung bình của Δ���(���)$\Delta GBC\left(cmt\right)$

Answer 25

[Vũ Phương Phương]

Bài 3: 
a) Xét ΔABC có:

M là trung điểm của AC (BM là đường trung tuyến của ΔABC)

N là trung điểm của AB (CN là đường trung tuyến của )ΔABC)⇒MN là đường trung bình của ΔABC ( DHNB đường trung bình) 

ΔABC có:

D là trung điểm của GB (gt)

E là trung điểm của GC (gt)

DE là đường trung bình của ΔGBC ( DHNB đường trung bình)

⇒DE // BC  ( t/ch đtb) (2) 

Từ (1) và (2) ⇒MN // DE ( cùng // BC) 

b) 

b) Do MN là đường trung bình của ΔABC(cmt)

MN= 1/2 BC(3)

Do DE là đường trung bình của ΔGBC(cmt)

DE=1/2 BC 
​
  (4)

Từ (3) và (4) ⇒MN=DE ( = 1/2 BC)

Xét tứ giác MNDE có:

MN // DE (cmt)MN=DE( 
(cmt)
⇒MNDE là hình bình hành ( DHNB hbh) 
⇒ND//ME ( t/ch hbh)

Answer 26

[Vũ Ngọc Quỳnh Anh]

a) Vì $BM$, $CN$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $MA=MC$, $NA=NB$.

Do đó $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra $MN$ // $BC$. (1)

Ta có $DE$ là đường trung bình của $\Delta GBC$ nên $DE$ // $BC$.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN$ // $DE$.

b) Xét $\Delta ABG$, ta có $ND$ là đường trung bình.

Xét $\Delta ACG$, ta có $ME$ là đường trung bình.

Do đó $ND$ // $AG$, $ME$ // $AG$.

Suy ra $ND$ // $ME$.