Xét $\Delta BED$ có :

MI//ED,ME=BM suy ra ��=��$ID=IB$.

Xét $\Delta CED$ có {��//����=��

NK//ED , NC=ND suy ra $KE=KC$. Suy ra $MI=1/2ED$; $NK=\; 1/2ED$; $ED=1/2BC$.

IK=MK−MI=1/2BC−1/2DE=DE−1/2DE=1/2$DE$.

   Vậy $MI=IK=KN$.

a) Vì $BM$, $CN$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $MA=MC$, $NA=NB$.

Do đó $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra $MN$ // $BC$. (1)

Ta có $DE$ là đường trung bình của $\Delta GBC$ nên $DE$ // $BC$.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN$ // $DE$.

b) Xét $\Delta ABG$, ta có $ND$ là đường trung bình.

Xét $\Delta ACG$, ta có $ME$ là đường trung bình.

Do đó $ND$ // $AG$, $ME$ // $AG$.

Suy ra $ND$ // $ME$.

Qua $D$ vẽ một đường thẳng song song với $BM$ cắt $AC$ tại $N$.

Xét $\Delta MBC$ có $DB=DC$ và $DN$ // $BM$ nên $MN=NC$=1/2

$MC$ (định lí đường trung bình của tam giác).

Mặt khác $AM=1/2$$MC$, do đó $AM=MN=1/2$

$MC$.

Xét $\Delta AND$ có $AM=MN$ và $BM$ // $DN$ nên $OA=OD$ hay $O$ là trung điểm của $AD$.

b) Xét $\Delta AND$ có $OM$ là đường trung bình nên $OM=1/2$

$DN$. (1)

Xét $\Delta MBC$ có $DN$ là đường trung bình nên $DN=1/2$

$M$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OM=1/4$BM

Ta kẻ đường thẳng MN//BD , N thuộc AC 

Xét tam giác BCD có : MN//BD và đi qua trung điểm BC (AM là dường trung tuyến nên BM=MC)

=>MN cắt DC tại trung điểm N 

=>MN là đường trung bình của tam giác BCD ( định lí đường trung bình của tam giác )

=>DN=NC (1)

Xét tam giác AMN có :ID//MN ( I thuộc BD )

ID đi qua trung điểm  AM ( I là trung điểm AM )

=>ID cắt AN tại trung điểm D 

=> ID là đường tb của tam giác AMN

=>AD=DN (2)

Từ (1) và (2) =>AD = DN=NC 

=>AD=1/2DC

b) Xét tam giác BDC có MN =1/2 BD ( MN là đường trung bình của tam giác BDC ) (3)

Xét tam giác AMN có ID =1/2MN ( ID là dg trung bình của tam giác AMN ) (4)

=> Từ (3) và (4) =>ID =1/2 MN =1/2BD 

=>ID=4BD