a) Ta có thể chứng minh ΔAOP = ΔBOR bằng cách sử dụng góc vuông và góc đồng quy. Vì hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau tại O, nên góc AOP và góc BOR là góc vuông. Đồng thời, ta cũng có góc OPA = góc ORB (do OP và OR là hai cạnh của hình vuông OPRQ). Vì vậy, theo góc đồng quy, ta có ΔAOP = ΔBOR.

b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông ABCD, nên ta có OP = OR = OS = OQ.

c) Ta cũng có thể chứng minh PRSQ là hình vuông bằng cách sử dụng góc vuông và góc đồng quy. Vì hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau tại O, nên góc PQR và góc PSR là góc vuông. Đồng thời, ta cũng có góc QPR = góc RPS (do PQ và RS là hai cạnh của hình vuông PRSQ). Vì vậy, theo góc đồng quy, ta có PRSQ là hình vuông.

Vậy, ΔAOP = ΔBOR, OP = OR = OS = OQ và PRSQ là hình vuông.

Vì ABCD  là hình bình hành => $\{\begin{array}{c}AB//CD\\ AD//BC\end{array}$

Tứ giác AMCN có $\{\begin{array}{c}AM=CN\\ AM//CN\end{array}\Rightarrow AMCN$ là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có $\{\begin{array}{c}AM=DN\\ AM//DN\end{array}\Rightarrow AMND$ là hình bình hành

=> AD // MN, mà $AD\perp AC\Rightarrow MN\perp AC$ (2)

Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.

ABCD là hình thoi

=>AC vuông góc BD tại trung điểm của mỗi đường và BD là phân giác của góc ABC

Xét ΔADF và ΔABE có

AD=AB

$\widehat{ADF}=\widehat{ABE}$

DF=BE

Do đó: ΔADF=ΔABE

=>AF=AE và $\widehat{AFD}=\widehat{AEB}$

Xét ΔHFD và ΔGEB có

$\widehat{HFD}=\widehat{GEB};\widehat{FDH}=\widehat{EBG}\left(=\widehat{ABD}\right)$

DF=BE

Do đó: ΔHFD=ΔGEB

=>HF=GE và DH=BG

AH+HF=AF

AG+GE=AE

mà HF=GE và AF=AE

nên AH=AG

Xét ΔCDH và ΔABG có

CD=AB

$\widehat{CDH}=\widehat{ABG}$

DH=BG

Do đó: ΔCDH=ΔABG

=>CH=AG

Xét ΔADH và ΔCBG có

AD=CB

$\widehat{ADH}=\widehat{CBG}$

DH=BG

Do đó: ΔADH=ΔCBG

=>AH=CG

Xét tứ giác AGCH có

AG=CH

AH=CG

Do đó: AGCH là hình bình hành

mà AC vuông góc GH

nên AGCH là hình thoi