Ta có: $A=x^2+2y^{2}2xy+2x6y+2028$

$=x^{2}2xy+y^2+y^2+2x-2y-4y+1+4+2023$

$=\left[x^2-2xy+\left(-y^2\right)+2x-2y+1\right]+\left(y^2-4y+4\right)+2023$

$={\left(x-y+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+2023$

Vì ${\left(x-y+1\right)}^2\ge 0$ với mọi $x,y$ và ${\left(y-2\right)}^2\ge 0$ với mọi $y$.

Suy ra $A\ge 2023$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $2$ $023$ đạt được khi $x-y=-1$ và $y-2=0$ hay $x=1$ và $y=2$.

Ta lựa chọn biểu đồ cột.

Vẽ biểu đồ:

Ta lựa chọn biểu đồ cột.

Vẽ biểu đồ:

a) Vì $d$ // $CD$ // $AB$ nên $MP$ // $CD$ và $PN$ // $AB$.

Xét $\Delta ADC$ có $MP$ // $CD$:

     $\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{MD}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AP}{PC}$( Định lí Thalès) (1)

Xét $\Delta ACB$ có $NP$ // $AB$:

     $\genfrac{}{}{0ex}{}{AP}{PC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BN}{NC}$( Định lí Thalès) (2)

Từ (1), (2) suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{MD}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BN}{NC}$

b) Chứng minh $\genfrac{}{}{0ex}{}{MP}{DC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}$

Suy ra $MP=2$ cm

Chứng minh $\genfrac{}{}{0ex}{}{NP}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$.

Suy ra $PN=\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}$ cm.

Tính được $MN=\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{3}$ cm