a) Tứ giác DKMN có D=K=N=90∘ nên là hình chữ nhật.

b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF // MH

Xét ΔKFM và ΔNME có:

   K=N=90∘

    FM=ME ( giả thiết)

     KMF=E (đồng vị)

Vậy ΔKFM=ΔNME (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra KF=MN (hai cạnh tương ứng) mà MN=DK nên 2DF=2DK và2MH=2MN.

Do đó DF=MH.

Tứ giác DFMH có DF // MH,DF=MH nên là hình bình hành.

Do đó, hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng.

c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN (1)(1)

Mà 1/2DK=1/2​DF vàDN=KM=NE nên 1/2DN=1/2​DE (2)

Từ (1),(2) suy ra DF=DE.

Vậy ΔDFE cần thêm điều kiên cân tại D.

a) Vì AB=2BC suy ra BC=AB/2=AD

ABCD là hình chữ nhật nên AB=DC suy ra 1/2​AB=1/2​DC do đó AI=DK=AD.

Tứ giác AIKD có AI // DK,AI=DK nên AIKD là hình bình hành.

Lại có AD=AI nên AIKD là hình thoi.

Mà IAD^=90∘ do đó AIKD là hình vuông.

Chứng minh tương tự cho tứ giác BIKC

b) Vì AIKD là hình vuông nên DI là tia phân giác ^ADK hay ^IDK=45∘.

Tương tự ^ICD=45∘.

ΔIDC cân có ^DIC=90∘ nên là tam giác vuông cân.

c) Vì AIKD,BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nênSI=SK=DI​ /2và IR=RK=IC​/2/2

Suy ra SKR là hình thoi.

Lại có ^DIC=90∘ nên ISKR là hình vuông.

a) ABCD là hình vuông nên AB=BC=CD=DA

Mà AM=BN=CP=DQ.

Trừ theo vế ta được

AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ

Suy ra MB=NC=PD=QA

b) Xét ΔQAM vàΔNCP có:

A=C=90∘

AQ=NC (chứng minh trên)

AM=CP (giả thiết)

Suy raΔQAM=ΔNCP (c.g.c)

c) TừΔQAM=ΔNCP suy ra NP=MQ (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự câu b ta có ΔQAM=ΔPDQ vàΔQAM=ΔMBN.

Khi đó ⇒MQ=PQ,MN=MQ vàAMQ^​^=DQP​.^

Mà ∘AMQ​+AQM​=90∘ suy raDQP​+AQM​=90∘.

Do đó, MQP​=90∘.

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có MQP​=90∘ nên là hình vuông.

a) Tứ giác AMCK có hai đường chéo AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

Nên AM=MC=MB.

Vậy hình bình hành AMCK có AM=MC nên là hình thoi.

b) Vì AMCK là hình thoi nênAK // BM và AK=MC=BM.

Tứ giác AKMB có AK // BM,AK=BM nên là hình bình hành.

c) Để AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay AM⊥MC.

Khi đó ΔABC có AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại A.

Vậy ΔABC vuông cân tại A thì AMCK là hình vuông.

a) ΔABC vuông cân nên .B^=C^=45∘.

ΔBHE vuông tại H có ∘BEH^+B^=90∘

Suy ra BEH^=90∘−45∘=45∘ nênB^=BEH^=45∘.

Vậy ΔBEH vuông cân tại .H.

b) Chứng minh tương tự câu a ta được ΔCFG vuông cân tại G

 nên GF=GC và HB=HE

Mặt khác BH=HG=GC

 suy ra EH=HG=GF và EH // FG (cùng vuông góc với BC)

Tứ giácEFGH có EH // FG,EH=FG nên là hình bình hành.

Hình bình hành EFGH có một góc vuông H^nên là hình chữ nhật

Hình chữ nhật EFGH có hai cạnh kề bằng nhau EH=HG nên là hình vuông.

Tứ giác OBAC có ba góc vuông B^=C^=BOC^=90∘

Nên OBAC là hình chữ nhật.

Mà A nằm trên tia phân giác OM suy ra AB=AC.

Khi đó OBAC là hình vuông.

Tứ giác OBAC có ba góc vuông B^=C^=BOC^=90∘

Nên OBAC là hình chữ nhật.

Mà A nằm trên tia phân giác OM suy ra AB=AC.

Khi đó OBAC là hình vuông.

a)ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC,BD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường.

Xét ΔΔOBM và ΔΔODP có:

     OB=OD ( giả thiết)

   ^OBM=^ODP (so le trong)

    ^BOM=^DOP (đối đỉnh)

Vậy ΔOBM=ΔODP (g.c.g)

Suy ra OM=OP (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ΔOAQ=ΔOCN (g.c.g) suy ra OQ=ON (hai cạnh tương ứng)

MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MP⊥NQ nên là hình thoi

a) ABCD là hình bình hành nên AB=DC suy ra 1/2 ​AB= 1/2 ​DC

Do đó AM=BM=DN=CN.

Tứ giác AMCN có AM // NC,AM=NC nên là hình bình hành.

Lại có ΔADC vuông tại A có AN là đường trung tuyến nên AN=1/2​DC=DN=CN.

Hình bình hành AMCN có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo AC,MN vuông góc với nhau.

Tứ giác AMCN là hình thoi.

Ta có $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại trung điểm của mỗi đường nên $BD$ là trung trực của $AC$

Suy ra $GA=GC,HA=HC$ $\left(1\right)$

Và $AC$ là trung trực của $BD$ suy ra $AG=AH,CG=CH$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ suy ra $AG=GC=CH=HA$ nên $AGCH$ là hình thoi.