a) $ABCD$ là hình bình hành nên $AB=DC$ suy ra $1/2\; AB=\; 1/2DC$

Do đó $AM=BM=DN=CN$.

Tứ giác $AMCN$ có $AM$ // $NC,AM=NC$ nên là hình bình hành.

Lại có $\Delta ADC$ vuông tại $A$ có $AN$ là đường trung tuyến nên $AN=\; 1/2\; DC=DN=CN$.

Hình bình hành $AMCN$ có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo $AC,MN$ vuông góc với nhau.

=>Tứ giác $AMCN$ là hình thoi.

a) $ABCD$ là hình bình hành nên $AB=DC$ suy ra $1/2\; AB=\; 1/2DC$

Do đó $AM=BM=DN=CN$.

Tứ giác $AMCN$ có $AM$ // $NC,AM=NC$ nên là hình bình hành.

Lại có $\Delta ADC$ vuông tại $A$ có $AN$ là đường trung tuyến nên $AN=\; 1/2\; DC=DN=CN$.

Hình bình hành $AMCN$ có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo $AC,MN$ vuông góc với nhau.

=>Tứ giác $AMCN$ là hình thoi.

Ta có $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại trung điểm của mỗi đường nên $BD$ là trung trực của $AC$

Suy ra $GA=GC,HA=HC$ $\left(1\right)$

Và $AC$ là trung trực của $BD$ suy ra $AG=AH,CG=CH$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ suy ra $AG=GC=CH=HA$ nên $AGCH$ là hình thoi.

a)Xét tứ giác AMDN có: góc AMD=900

góc MAN=900

góc DNA=900

=> Tứ giác AMDN là hình chữ nhật(dhnb hcn)

b)Xét tam giác ABC vuông tại A có:D là trung điểm của BC

=>AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

=>AD=BD=CD=BC/2

=> Tg ACD cân tại D

Xét tg ACD cân tại D có: DN là đường cao

=>DN là đường trung tuyến của tam giác ADC

=>N là trung điểm của AC

a) Xét tứ giác AIKD có

AI//KD

AI=KD

AI=AD

=>AIKD là hình thoi

mà góc A=90 độ

nên AIKD là hình vuông

Xét tứ giác BIKC có

BI//KC

BI=KC

BI=BC

=>BIKC là hình thoi

mà góc B=90 độ

nên BIKC là hình vuông

b) Xét ΔDIC có

IK vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

IK=1/2DC

Do đó: ΔDIC vuông cân tại I

c) AIKD là hình vuông

=>AK vuông góc ID tại trung điểm của mỗi đường  và AK=ID

=>AK=ID và AK vuông góc ID tại S

=>SI=SK

BIKC là hình vuông

=>CI vuông góc BK tại trung điểm của mỗi đường và CI=BK

=>CI vuông góc BK tại R

=>RI=RC=RK=RB

Xét tứ giác ISKR có

góc ISK=góc IRK=góc SIK=90 độ

Do đó: ISKR là hình chữ nhật

mà SI=SK

nên ISKR là hình vuông

a) Do ABCD là hình vuôn nên: 

$AB=BC=CD=AD$ 

Mà: $\{\begin{array}{c}AB=AM+MB\\ BC=BN+NC\\ CD=CP+PD\\ AD=DQ+QA\end{array}$ 

Lại có: $AM=BN=CP=DQ$

$\Rightarrow MB=NC=PD=QA\left(dpcm\right)$ 

b) Xét $\Delta QAM$ và $\Delta NCP$ có:

$\hat{A}=\hat{C}=90^o\left(gt\right)$

$AM=CP\left(gt\right)$

$QA=NC\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta QAM=\Delta NCP\left(c.g.c\right)$ 

c) Xét các tam giác: $\Delta QAM,\Delta NCP,\Delta PDQ,\Delta MBN$ ta có:

$\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90^o\left(gt\right)$

$AM=BN=CP=DQ\left(gt\right)$

$MB=NC=PD=QA\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta QAM=\Delta NCP=\Delta PDQ=\Delta MBN\left(c.g.c\right)$ 

$\Rightarrow MQ=QP=PN=NM$ (các cạnh tương ứng) 

$\Rightarrow MNPQ$ là hình thoi (1)

Xét tam giác QAM ta có:

$\widehat{QMA}+\widehat{AQM}=180^o-90^o=90^{oMà:}$
$\Delta QAM=\Delta MBN\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \widehat{BMN}=\widehat{AQM}$ mà(hai góc tương ứng) 

$\Rightarrow \widehat{BMN}+\widehat{QMA}=90^o$

Lại có: $\widehat{BMN}+\widehat{QMA}+\widehat{NMQ}=180^o$

$\Rightarrow \widehat{NMQ}=180^o-90^o=90^o$ (2) 

Từ (1) và (2) ta có MNPQ là hình vuông 

a)

 Ta có: IA=IC (gt); IM=IK (gt) => AMCK là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Ta lại có:MB=MC (gt); IA=IC (gt) => MI là đường trung bình của tg ABC => MI//AB

mà $AB\perp AC$ AB vuông góc với AC

$\Rightarrow MI\perp AC\Rightarrow MK\perp AC$

=> AMCK là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

b) Ta có:

MI//AB (cmt) => MK//AB

AK//MC (cạnh đối hbh AMCK) => AK//MB

=> AKMB là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c) Để AMCK là hình vuông $\Rightarrow AM\perp BC$ => AM là đường cao của tg ABC

Mà AM là trung tuyến của tg ABC (gt)

=> ABC cân tại A (Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tg cân)

=> Để AMCK là hình vuông thì tg ABC vuông cân tại A

Vì ΔABC vuông cân tại A nên ∠ B =  ∠ C = 45 0

Vì ΔBHE vuông tại H có  ∠ B =  45 0  nên ΔBHE vuông cân tại H.

Suy ra HB = HE

Vì ΔCGF vuông tại G, có  ∠ C =  45 0  nên ΔCGF vuông cân tại G

Suy ra GC = GF

Ta có: BH = HG = GC (gt)

⇒ HE = HG = GF

Vì EH // GF (hai đường thẳng cũng vuông góc với đường thắng thứ ba) nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau);

Lại có  ∠ (EHG) = 90 0  nên HEFG là hình chữ nhật.

mà EH = HG (cmt).

Vậy HEFG là hình vuông.

Tứ giác OBAC có 3 góc vuông  góc B= góc C= 90 độ 

⇒ Tứ giác OBAC là hình chữ nhật 

mà A nằm trên tia phân giác Om 

⇒ AB=AC

Khi đó OBAC là hình vuông