a)ABCD là hbh

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔOAM và ΔOCP có

góc OAM=góc OCP

OA=OC

góc AOM=góc COP

=>ΔOAM=ΔOCP

=>OM=OP

=>O là trung điểm của MP

Xét ΔOQD và ΔONB có

góc ODQ=góc OBN

OD=OB

góc QOD=góc NOB

=>ΔOQD=ΔONB

=>OQ=ON

=>O là trung điểm của QN

Xét tứ giác MNPQ có

O là trung điểm chung của MP và NQ

=>MNPQ là hbh

b) xét tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP vuông góc với QN 

suy ra tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì ABCD  là hình bình hành => $\{\begin{array}{c}AB//CD\\ AD//BC\end{array}$

Tứ giác AMCN có $\{\begin{array}{c}AM=CN\\ AM//CN\end{array}\Rightarrow AMCN$ là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có $\{\begin{array}{c}AM=DN\\ AM//DN\end{array}\Rightarrow AMND$ là hình bình hành

=> AD // MN, mà $AD\perp AC\Rightarrow MN\perp AC$ (2)

Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.

Ta có $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại trung điểm của mỗi đường nên $BD$ là trung trực của $AC$

Suy ra $GA=GC,HA=HC$ $\left(1\right)$

Và $AC$ là trung trực của $BD$ suy ra $AG=AH,CG=CH$ $\left(2\right)$

$từ(1),(2)\; suy\; ra\; AG=GC=CH=HA$

$nên\; tứ\; giác\; AGCH\; là\; hình\; thoi$