a/

Xét tg ABK có

AB=BK (gt) => tg ABK cân tại B \(\Rightarrow\widehat{BAK}=\widehat{AKB}\) (1)

\(\widehat{CAK}+\widehat{BAK}=\widehat{A}=90^o\) (2)

Xét tg vuông AHK

\(\widehat{HAK}+\widehat{AKB}=90^o\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{CAK}=\widehat{HAK}\) => AK là phân giác \(\widehat{DAC}\) 

Xét tg vuông AHC và tg vuông DHC có

HC chung; HA=HD (gt) => tg AHC = tg DHC (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{DCH}\) => CH là phân giác \(\widehat{ACD}\)

AK và CH cắt nhau tại K => K là giao 3 đường phân giác của tg ACD (trong tg 3 đường phân giác đồng quy)

b/

Từ E đựng đường thẳng \(EF\perp AC\left(F\in AC\right)\) ta có

BK=AB (gt); BE=BK (gt) => BE=AB => tg ABE cân tại B

\(\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{EAB}\) (góc ở đáy tg cân) (4)

Ta có

\(EF\perp AC;AB\perp AC\) => EF//AB (cùng vg với AC)

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{EAB}\) (góc so le trong) (5)

Xét tg vuông AFE và tg vuông AHE có

AE chung

Từ (4) và (5) => \(\widehat{AEF}=\widehat{AEB}\)

=> tg AFE = tg AHE (hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{EAF}=\widehat{EAD}\) => AE là phân giác của  \(\widehat{DAF}\) là góc ngoài đỉnh A của tg CAD

a/ Xét tg AMB và tg DMC có

MB=MC (gt); MA=MD (gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (góc đối đỉnh)

=> tg AMB = tg DMC (c.g.c)

b/

Xét tứ giác ABDC có

MA=MD; MB=MC

=> ABDC là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> AC//BD (cạnh đối hbh)

c/

Xét tg vuông AHM và tg vuông DKM có

\(AH\perp BC;DK\perp BC\) => AH//DK \(\Rightarrow\widehat{MAH}=\widehat{MDK}\) (góc so le trong)

MA = MD (gt)

=> tg AHM =tg DKM (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọ tương ứng bằng nhau)

=> MH=MK

mà MC = MB (gt)

=> \(MH+MC=MK+MB\)

\(\Rightarrow CH=BK\)

d/ Ta có ABDC là hbh (cmt) => AB//=DC (cạnh đối hbh)

Xét tứ giác ABCE có

IA=IC (gt); IB=IE (gt)

=> ABCE là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> AB//=CE (cạnh đối hbh)

 hay D; C; E thẳng hàng (Từ 1 điểm bên ngoài 1 đường thawngr cho trước chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)

=> DC=CE=AB => C là trung điểm của DE

Phân số chỉ lượng nước 2 vòi cùng chảy trong 1 giờ là

\(1:3=\dfrac{1}{3}\) bể

Nếu cho vòi 1 chảy trong 2 giờ và vòi 2 chảy trong 5 giờ thì đầy bể có thể coi như cho 2 vòi cùng chảy trong 2 giờ sau đó vòi 2 chảy tiếp trong 3 giờ thì đầy bể

Phân số chỉ lượng nước 2 vòi cùng chảy trong 2 giờ là

\(2x\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\) bể

Phân số chỉ lượng nước  vòi 2 chảy trong 3 giờ là

\(1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\) bể

Phân số chỉ lượng nước  vòi 2 chảy trong 1 giờ là

\(\dfrac{1}{3}:3=\dfrac{1}{9}\) bể

Thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là

\(1:\dfrac{1}{9}=9\) giờ

Phân số chỉ lượng nước  vòi 1 chảy trong 1 giờ là

\(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{2}{9}\) bể

Thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là

\(1:\dfrac{2}{9}=4,5\) giờ

Tổng số bi của 4 hộp là

11+12+15+18=56 viên, là 1 số chia hết cho 4

Sau khi lấy đi 1 hộp số bi còn lại cũng là 1 số chia hết cho 4 nên hộp đã lấy đi có số bi cũng là 1 số chia hết cho 4

Trong 4 hộp chỉ có hộp chưa 12 viên bi là số chia hết cho 4 nên hộp lấy đi chưa 12 viên bị xanh

Tổng số bi còn lại là

56-12=44 viên

Chia số bi đỏ thành 3 phần bằng nhau thì số bi xanh còn lại là 1 phần

Tổng số phần bằng nhau là

1+3=4 phần

Giá trị 1 phần hay số bi xanh còn lại là

44:4=11 viên bi xanh

Số bi xanh là

12+11=23 viên bi xạnh

Số bi đỏ là

56-23=33 viên bi đỏ

a/ Xét tg vuông ACE và tg vuông AKE có

AE chung; \(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\left(gt\right)\) 

=> tg ACE = tg AKE (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => AC = AK

b/

Xét tg AEB có

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}=\dfrac{\widehat{A}}{2}=30^o\)

\(\widehat{ABC}=90^o-\widehat{A}=90^o-60^o=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{KAE}=\widehat{ABC}=30^o\) => tg AEB cân tại E 

\(EK\perp AB\left(gt\right)\)

=> AK = BK (trong tg cân đường cao hạ từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến)

Ta có AC = AK (cmt)

\(\Rightarrow AC=AK=BK\)

Mà AB = AK + BK

=> AB = 2AC

Ta có tg AEB cân tại E => EB = EA

Xét tg vuông ACE có

EA>AC (trong tg vuông cạnh huyền là cạnh có độ dài lớn nhất)

=> EB>AC

c/ Gọi M là giao của AC và BD ta có

\(BC\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow BC\perp AM\)

\(BD\perp AE\left(gt\right)\Rightarrow AE\perp BM\)

=> E là trực tâm của tg ABM

\(\Rightarrow ME\perp AB\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

Mà \(EK\perp AB\)

\(\Rightarrow ME\equiv EK\) (Từ 1 điểm bên ngoài 1 đường thẳng cho trước chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho)

=> AC; EK; BD đồng quy

Tổng 3 số là

18x3=54

Nếu gấp số thứ nhất lên 2 lần thì tổng 3 số mới là

22x3=66

Số thứ nhất là

66-54=8

Nếu gấp số thứ 2 lên 2 lần thì tổng 3 số mới là

24x3=72

Số thứ 2 là

72-54=18

Số thứ 3 là

54-(8+18)=28

\(\dfrac{1}{x^2\left(y-z\right)}=-\dfrac{3}{5}\Rightarrow x^2=-\dfrac{5}{3\left(y-z\right)}\)

\(\dfrac{1}{y^2\left(z-x\right)}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow y^2=\dfrac{3}{\left(z-x\right)}\)

\(\dfrac{1}{z^2\left(x-y\right)}=3\Rightarrow z^2=\dfrac{1}{3\left(x-y\right)}\)

\(A=x^2.y^2.z^2=-\dfrac{5}{3\left(y-z\right)}.\dfrac{3}{z-x}.\dfrac{1}{3\left(x-y\right)}=\)

\(=-\dfrac{5}{3}.\dfrac{1}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(x-y\right)}=\)

\(xy+2yz+3zx=27\)

\(\Leftrightarrow\left(xy+zx\right)+\left(2yz+2zx\right)=27\)

\(\Leftrightarrow x\left(y+z\right)+2z\left(x+y\right)=27\)

\(\Leftrightarrow x\left(6-x\right)+2z\left(6-z\right)=27\)

\(\Leftrightarrow-x^2+6x-2z^2+12z=27\)

\(\Leftrightarrow-\left(x^2-6x+9\right)-2\left(z^2-6z+9\right)=9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+2\left(z-3\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)^2=0\\2\left(z-3\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\z=3\end{matrix}\right.\)

Thay vào x+y+z=6 => y=0

Trên tia đối của AB lấy E sao cho AE=DC

Ta có DC//AB => DC//AE

=> AEDC là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

Do ABCD là hình thang cân

\(\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{ADC}\) (1)

Ta có AB//CD \(\Rightarrow\widehat{ADC}+\widehat{DAB}=180^o\) (2 góc trong cùng phí bù nhau) (2)

Mà \(\widehat{EAD}+\widehat{DAB}=\widehat{EAB}=180^o\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{EAD}=\widehat{BCD}\)

Xét tg EAD và tg BCD có

AE = CD; \(\widehat{EAD}=\widehat{BCD}\left(cmt\right)\); AD = BC (gt)

=> tg EAD = tg BCD (c.g.c) => ED=BD => tg BDE cân tại D

Dựng \(DH\perp AB\left(H\in AB\right)\Rightarrow BH=EH=\dfrac{BE}{2}\) (trong tg cân đường cao hạ từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến)

Ta có

AE=CD \(\Rightarrow AB+CD=AB+AE=BE\)

\(DH=\dfrac{1}{2}\left(AB+CD\right)=\dfrac{1}{2}\left(AB+AE\right)=\dfrac{BE}{2}\)

\(\Rightarrow DH=BH=EH=\dfrac{BE}{2}\)

=> tg DHE và tg BHD là tg vuông cân tại H

\(\Rightarrow\widehat{DEH}=\widehat{EDH}=\widehat{BDH}=\widehat{DBH}=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EDH}+\widehat{BDH}=\widehat{BDE}=45^o+45^o=90^o\Rightarrow ED\perp BD\)

Ta có

ED//AC (cạnh đối hbh AEDC)

\(\Rightarrow AC\perp BD\)

Hiệu giữa mẫu số và tử số của phân số 36/47 là

47-36=11

Khi giảm cả tử và mẫu của phân số trên với cùng 1 số thì hiệu giữa mẫu và tử của phân số mới không thay đổi và vẫn là 11

Chia mẫu số phân số mới thành 2 phần bằng nhau thì tử số của phân số mới là 1 phần

Hiệu số phần bằng nhau là

2-1=1 phần

Giá trị 1 phần hay tử số của phân số mới là

1x11=11

Số cần giảm là

36-11=25 đơn vị