\(\overline{abcdef}=100x\overline{abcd}+ef=98x\overline{abcd}+2x\overline{abcd}+\overline{ef}⋮7\)

\(98x\overline{abcd}⋮7\Rightarrow2x\overline{abcd}+\overline{ef}⋮7\)

\(\overline{efabcd}=10000x\overline{ef}+\overline{abcd}=9996x\overline{ef}+4x\overline{ef}+\overline{abcd}\)

Ta có

\(2x\left(4x\overline{ef}+\overline{abcd}\right)=8x\overline{ef}+2x\overline{abcd}=7x\overline{ef}+\left(2x\overline{abcd}+\overline{ef}\right)\)

Ta thấy

\(7x\overline{ef}⋮7\)

\(2x\overline{abcd}+\overline{ef}⋮7\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow2x\left(4x\overline{ef}+\overline{abcd}\right)⋮7\Rightarrow4x\overline{ef}+\overline{abcd}⋮7\)

Ta thấy

\(9996x\overline{ef}⋮7;4x\overline{ef}+\overline{abcd}⋮7\Rightarrow\overline{efabcd}⋮7\)

số vịt trên bờ bằng 20% số vịt dưới ao tức là số vịt trên bờ bằng 1/5 số vịt dưới ao => số vịt trên bờ bằng 1/6 tổng đàn vịt

số vịt trên bờ bằng 12,5% số vịt dưới ao tức là số vịt trên bờ bằng 1/8 số vịt dưới ao => số vịt trên bờ bằng 1/9 tổng đàn vịt

Phân số chỉ 3 con vịt là

1/6-1/8=1/24 đàn vịt

Số vịt trong đàn là

3:1/24=72 con

30=2x3x5

Số cần tìm là 235

90=2x5x9=3x5x6

Số cần tìm là 952

Xét tg AEF có

AE=AF (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn...)

=> tg AEF cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{AFE}\) (góc ở đáy tg cân)

Ta có

\(\widehat{AEF}=\widehat{MEB}\) (góc đối đỉnh)

\(\widehat{AFE}=\widehat{KFC}\) (góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{MEB}=\widehat{KFC}\)

Xét tg vuông MEB và tg vuông KFC có

\(\widehat{MEB}=\widehat{KFC}\left(cmt\right)\)

=> tg MEB đồng dạng với tg KFC (g.g.g)

Gọi M;N là giao của xy với ab và cd

Từ M dựng đường thẳng vuông góc với cd cắt cd tại P

Từ N dựng đường thẳng vuông góc với ab cắt ab tại Q

Xét tg vuông MNP và tg vuông NMQ có

MP=NQ; MN chung => tg MNP = tg NMQ (2 tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{aMy}=\widehat{xNd}\) (Hai góc này ở vị trí so le trong)

Ta có

\(\widehat{aMy}=\widehat{xMb}\) (góc đối dỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{xMb}=\widehat{xNd}\) (Hai góc này ở vị trí đồng vị)

1/5 túi keo nhỏ bằng 1/8 túi kẹo to

Chia túi kẹo nhỏ thành 5 phần thì túi kẹo to là 8 phần

Hiệu số phần bằng nhau là

8-5=3 phần

Giá trị 1 phần là

24:3=8 cái kẹo

Số kẹo nhỏ là

5x8=40 cái

Số kẹo to là

8x8=64 cái

Gọi I là giao của PM và QN

Ta có

MP//AB (gt) \(\Rightarrow\widehat{AMP}=\widehat{BAM}\) (góc so le trong)

Xét tg ABM có 

BM=BA (gt) => tg ABM cân tại B \(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{BAM}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{AMP}=\widehat{AMB}\) => AM là phân giác \(\widehat{BMP}\)

C/m tương tự ta cũng có AN là phân giác \(\widehat{CNQ}\)

Xét tg IMN có

AM là phân giác \(\widehat{BMP}\) là góc ngoài của \(\widehat{M}\)

AN là phân giác \(\widehat{CNQ}\) là góc ngoài của \(\widehat{N}\)

Chứng minh bài toán phụ: "Trong tg giao điểm của hai tia phân giác của 2 góc ngoài nằm trên đường phân giác của góc trong không kề với nó" (bạn tự c/m)

=> IA là phân giác của \(\widehat{NIM}\Rightarrow\widehat{QIA}=\widehat{PIA}\)

Xét tứ giác APIQ có

QN//AC (gt) => QI//AP

PM//AB (gt) => PI//AQ

=> APIQ là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Gọi O là giao của AI với PQ => OP=OQ (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét tg PIQ có

\(OP=OQ\left(cmt\right);\widehat{QIA}=\widehat{PIA}\left(cmt\right)\)  

=> tg PIQ cân tại I (Tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác là tg cân)

=> PI=QI

=> APIQ là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh liên tiếp bằng nhua là hình thoi)

=> AP=AQ (Hình thoi có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau)

Ta có 

\(111=3.37\Rightarrow n+2=\left\{3;37;111\right\}\Rightarrow n=\left\{1;35;109\right\}\)

\(\Rightarrow n-2=\left\{-1;33;107\right\}\)

Ta thấy n-2 =33 là bội của 11

=> n=35

Xét tg ABD

BD=BA (gt) => tg ABD cân tại B \(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)

\(\widehat{B}=\widehat{BAD}+\widehat{BDA}=2\widehat{BDA}\) (Trong tg góc ngoài bằng tổng 2 góc trong không kề với nó

Xét tg ACE

CE=CA(gt) => tg ACE cân tại C \(\Rightarrow\widehat{CAE}=\widehat{CEA}\)

\(\widehat{C}=\widehat{CAE}+\widehat{CEA}=2\widehat{CEA}\)

Xét tg ABC

\(\widehat{B}>\widehat{C}\left(gt\right)\)  \(\Rightarrow2\widehat{BDA}>2\widehat{CEA}\Rightarrow\widehat{BDA}>\widehat{CEA}\)

Xét tg ADE có

\(\widehat{BDA}>\widehat{CEA}\Rightarrow AE>AD\)  (Trong tg cạnh dối diện góc lớn hơn thì có độ dài lớn hơn)

b/

Xét tg cân ABD có

\(AG=BG\left(gt\right)\Rightarrow BG\perp AB\) (Trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao) \(\Rightarrow IG\perp AB\)

=> tg AID cân tại I (Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tg cân => IA=ID

C/m tương tự ta cùng có tg AIE cân tại I => IA=IE

=> ID=IE=IA => tg DIE cân tại I

Qua I dựng đường thẳng d vuông góc với DE => d thuộc đường cao của tg DIE => I thuộc trung trực của tg DIE (Trong tg cân đường cao xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung trực

\(\Rightarrow I\in d\) là đường trung trực của DE

c/

ID=IA=IE => tg ADE nội tiếp đường tròn (I)

\(\Rightarrow sđ\widehat{BDA}=\dfrac{1}{2}sđcungAE\) (góc nội tiếp)

Ta có

\(sđ\widehat{AIE}=sđcungAE\) (góc ở tâm)

\(\Rightarrow\widehat{AIE}=2\widehat{BDA}\)

Mà \(\widehat{B}=2\widehat{BDA}\) (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{AIE}\)

Ta có B và I cùng nhìn AE dưới 2 góc bằng nhau => ABIE là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{BEI}\) (góc nt cùng chắn cung BI) (1)

Xét tg cân AIE có

\(IK\perp AE\Rightarrow\widehat{AIK}=\widehat{EIK}\) (trong tg cân đường cao XP từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh)

Xét tg AIC và tg EIC có

IA=IE (cmt); \(\widehat{AIK}=\widehat{EIK}\left(cmt\right)\); IC chung => tg AIC = tg EIC (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{CAI}=\widehat{BEI}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)