Sorry!

- Ta  chứng minh được $\widehat{MNy}=\widehat{BCy}$ Hai góc này ở vị trí đồng vị

=> MN//BC

Hướng giải:

- Chứng minh được đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của cùng 1 góc thì vuông góc với nhau

- Từ đó chững minh được APBQ và AMCN là hình chữ nhật.

- Gọi I là giao của PQ với AB; K là giao của MN với AC => I là trung điểm của AB và K là trung điểm của AC (trong HCN 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

- Ta  chứng minh được \(\widehat{QNy}=\widehat{BCy}\) Hai góc này ở vị trí đồng vị

=> MN//BC

- Chứng minh tương tự ta cũng có PQ//BC

- Xét tg ABC có PQ đi qua trung điểm AB và PQ//BC => PQ đi qua trung điểm K của AC (Trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

=> Qua điểm K có 2 đường thẳng PQ và MN cùng song song với BC nên MN trùng PQ hay P; Q; M; N thẳng hàng (Từ 1 điểm bên ngoài 1 đường thẳng cho trước chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)

\(17^{25}>16^{25}=\left(2^4\right)^{25}=2^{100}\)

\(7^{33}< 8^{33}=\left(2^3\right)^{33}=2^{99}\)

\(\Rightarrow17^{25}>2^{100}>2^{99}>7^{33}\)

Ta có

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.9.12=54cm^2\)

Xét tg vuông DEC và tg vuông ABC có chung \(\widehat{C}\)

=> tg DEC đồng dạng tg ABC

\(\Rightarrow\dfrac{S_{DEC}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{DEC}}{54}=\left(\dfrac{CD}{AC}\right)^2=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\) (Hai tg đồng dạng thì tỷ số diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng)

\(\Rightarrow S_{DEC}=\dfrac{54}{3}=18cm^2\)

Hướng giải:

Dễ dàng chứng minh được ADME là hình chữ nhật => DM=AE

Dễ dàng chứng minh được tg EMC cân tại E => EM=EC

=> DM+EM=AE+EC=AC=4 cm không đổi

\(S_{ADME}=EM.DM\)

Hai số coa tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số bằng nhau => \(S_{ADME}\) lớn nhất khi EM=DM

Khi đó sẽ c/m được M là trung điểm của BC

Tổng 5 số chẵn liên tiếp là

2k+(2k+2)+(2k+4)+(2k+6)+(2k+8)=10k+20=10(k+2)\(⋮10\)

Tổng 5 số lẻ liên tiếp là

(2k+1)+(2k+3)+(2k+5)+(2k+7)+(2k+9)=10k+25=10(k+2)+5 chia 10 dư 5

Gọi I là giao của AD và BC Nối M với I 

Ta có

AC//MH//BD (cùng vuông góc với BC) 

Ta có \(\dfrac{CI}{BI}=\dfrac{AI}{DI}=\dfrac{AC}{BD}\) (Talet)

Mà AC = CM; BD = DM (Hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ 1 điểm bên ngoài đường tròn)

\(\Rightarrow\dfrac{CI}{BI}=\dfrac{CM}{DM}\) => MI//BD (Talet đảo trong tam giác)

=> MH và MI cùng song song với BD => \(MI\equiv MH\) (Từ 1 điểm cho trước chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng ?? với đường thẳng đã cho)

 => AD; MH; BC đồng quy

a/

\(\widehat{CBD}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BD\perp BC\)

\(OA\perp BC\) (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì đường nối điểm đó với tâm vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)

=> BD//OA (Cùng vuông góc với BC)

b/

BD//OA (cmt) => DE//OA (1)

Xét tg vuông ODE và tg vuông COA có

\(\widehat{EDO}=\widehat{AOC}\) (góc đồng vị)

OD=OC (bán kính (O))

=> tg ODE = tg COA (Hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

=> DE=OA (2)

Từ (1) và (2) => AEDO là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và băng nhau là hbh)

=> AE//CD (cạnh đối hbh) \(\Rightarrow\widehat{AEO}=\widehat{EOD}=90^o\) (góc so le trong)

Ta có E; B; C cùng nhìn OA dưới 3 góc bằng nhau và bằng \(90^o\)

=> E; B; C cùng nằm trên đường tròn đường kính OA => O; C; A; E; B thuộc 1 đường tròn)

c/ AD cắt OE và BK lần lượt tại G và M

\(BK\perp CD\left(gt\right);OE\perp CD\left(gt\right)\) => BK//OE

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{EG}=\dfrac{KM}{OG}\) 

Mà AEDO là hbh (cmt) => EG=OG (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) 

=> BM=KM

\(a+b+c=\dfrac{a+2b-c}{c}=\dfrac{b+2c-a}{a}=\dfrac{c+2a-b}{b}=\)

\(=\dfrac{a+2b-c+b+2c-a+c+2a-b}{a+b+c}=\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+2b-c}{c}=2\Rightarrow a+2b=3c\)

\(\Rightarrow\dfrac{b+2c-a}{a}=2\Rightarrow b+2c=3a\)

\(\Rightarrow\dfrac{c+2a-b}{b}=2\Rightarrow c+2a=3b\)

\(P=\left(2+\dfrac{a}{b}\right)\left(2+\dfrac{b}{c}\right)\left(2+\dfrac{c}{a}\right)=\)

\(=\left(\dfrac{a+2b}{b}\right)\left(\dfrac{b+2c}{c}\right)\left(\dfrac{c+2a}{a}\right)=\dfrac{3c.3a.3b}{a.b.c}=27\)

\(\left(2a+2b-c\right)^2=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ac\) (1)

\(\left(2b+2c-a\right)^2=a^2+4b^2+4c^2-4ab+8bc-4ac\) (2)

\(\left(2a+2c-b\right)^2=4a^2+b^2+4c^2-4ab-4bc+8ac\) (2)

\(A=\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)=9\left(a^2+b^2+c^2\right)=9m\)