Đặt \(\widehat{BAM}=\alpha;\widehat{DAN}=\beta;\widehat{MAN}=\gamma\)

Ta có

\(\tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\) (1)

Xét tg vuông ABM có

\(\tan\alpha=\dfrac{BM}{AB}\) mà AB=BC \(\Rightarrow\tan\alpha=\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{1}{2}\)

Xét tg vuông ADN có

\(\tan\beta=\dfrac{DN}{AD}\) mà AD=DC \(\Rightarrow\tan\beta=\dfrac{DN}{DC}=\dfrac{1}{3}\)

Thay các giá trị vào (1) bạn tự tính nhé

b/

\(\gamma=\dfrac{\pi}{2}-\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{2}-arc\tan\alpha-arc\tan\beta\)

Gọi 2 số cần tìm là \(\overline{5ab};\overline{3cd}\) theo đề bài

\(\overline{5ab}+\overline{3cd}=836\)

\(500+\overline{ab}+300+\overline{cd}=836\)

\(\Rightarrow\overline{ab}+\overline{cd}=36\)

Đến đây là dạng toán tìm 2 số khi biết tổng và tỷ ở lớp 5

Chia 2 trường hợp \(\overline{ab}=2x\overline{cd}\) hoặc \(\overline{cd}=2x\overline{ab}\)

Bạn tự làm nốt nhé

\(\overline{ab}+\overline{cd}+\overline{eg}⋮9\)

\(\overline{ab}+\overline{cd}+\overline{eg}=10a+b+10c+d+10e+g=\)

\(=9\left(a+c+e\right)+\left(a+b+c+d+e+g\right)⋮9\)

Ta có \(9\left(a+c+e\right)⋮9\)

\(\Rightarrow a+b+c+d+e+g⋮9\)

\(\Rightarrow\overline{abcdeg}⋮9\)

Ta có

\(AQ\perp DI\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{DPQ}=90^o\)

\(\widehat{DCQ}=90^o\)

=> P và C cùng nhìn DQ dưới 2 góc = nhau và \(=90^o\) => P; C thuộc đường tròn đường kính DQ

=> C; D; P; Q cùng thuộc 1 đường tròn

Ta có

AI=BI (gt); AJ=CJ (gt) => IJ là đường trung bình của tg ABC

=> IJ//BC và \(IJ=\dfrac{BC}{2}\)

BL=HL (gt); CK=HK (gt) => KL là đường trung bình của tg HBC

=> KL//BC và \(KL=\dfrac{BC}{2}\)

=> IJ//KL (cùng // với BC và \(IJ=KL=\dfrac{BC}{2}\)

=> IJKL là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

Xét tg ACH có

CK=HK (gt); CJ=AJ (gt) => JK là đường trung bình của tg AHC

=> JK//AH 

Ta có

KL//BC (cmt) mà \(AH\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow AH\perp KL\)

\(\Rightarrow JK\perp KL\)

=> IJKL là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc \(=90^o\) là HCN)

Gọi O là giao của IK với JL 

=> OI=OK; OJ=OL (trong HCN 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> IK=JL (trong HCN 2 đường chéo bằng nhau)

=> OI=OK=OJ=OL => O là tâm đường tròn ngoại tiếp IJKL đường kính IK=JL

Ta có

\(BE\perp AC\left(gt\right)\) => \(\widehat{LEJ}=90^o\)  => E thuộc đường tròn đường kính JL hay \(E\in\left(O\right)\)

\(CF\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{KFI}=90^o\) => F thuộc đường tròn đường kính IK hay \(F\in\left(O\right)\)

=> I; J; K; L; E; F cùng thuộc (O)

a/ 

Ta có

MB=MC (gt) \(\Rightarrow AM=\dfrac{BC}{2}\) (Trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)

\(\Rightarrow BC=2AM\)

b/

Ta có

MB=MC (gt); MA=MD (gt) => ABDC là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Mà \(\widehat{A}=90^o\) (gt)

=> ABDC là hình chữ nhật

c/

Ta có

AB=AE; AC=AF => BCEF là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

\(\widehat{A}=90^o\) (gt) \(\Rightarrow BE\perp CF\)

=> BCEF là hình thoi (hbh có 2 đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi)

d/ nếu tg ABC vuông cân ở A thì BCEF là hình vuông 

Bạn tự c/m nốt nhé dễ mà

\(=\dfrac{7^{10}+7^{14}+7^{18}}{7^{11}+7^{13}+7^{15}+7^{17}+7^{19}+7^{21}}=\)

\(=\dfrac{7^{10}\left(1+7^4+7^8\right)}{7^{10}\left(7+7^3+7^5+7^7+7^9+7^{11}\right)}=\)

\(=\dfrac{1+7^4+7^8}{7+7^3+7^5+7^7+7^9+7^{11}}\)

a/

Ta có

\(\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{AN}{AD}\left(gt\right)\) => AM//MN//CD (Talet đảo) => MN//(SAB)

\(\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{SP}{SD}\left(gt\right)\) => PN//SA (Talet đảo) => PN//(SAB)

=> (MNP)//(SAB) (Một mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau và cùng // với 1 mặt phẳng cho trước thì 2 mặt phẳng đó // với nhau)

Trong mp (SCD) từ P dựng đường thẳng // CD cắt SC tại Q

=> PQ//MN (cùng song song với CD

Mà \(P\in\left(MNP\right)\Rightarrow PQ\in\left(MNP\right)\Rightarrow Q\in\left(MNP\right)\)

đồng thời \(Q\in SC\)

=> Q là giao của SC với (MNP)

b/

Thiết diện của S.ABCD với (MNP) là tứ giác MNPQ

c/

Ta có

\(NP\left(SAD\right);K\in NP\Rightarrow K\in\left(SAD\right)\)

\(MQ\in\left(SBC\right);K\in MQ\Rightarrow K\in\left(SBC\right)\)

\(S\in\left(SAD\right);S\in\left(SBC\right)\)

=> SK là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Ta có AD//BC (cạnh đối hình vuông)=> AD//(SBC) và \(AD\in\left(SAD\right)\)

=> AD//SK(Một mp chứa 1 đường thẳng // với 1 mặt phẳng cho trước và 2 mặt phẳng cắt nhau thì đường thẳng đó // với giao tuyến)

Vậy khi M di động trên BC thì K thuộc nửa đường thẳng SK//AD

d/

ta có

SB là giao tuyến của (SAB) với (SBC)

MQ là giao tuyến của (MNP) với (SBC)

(MNP)//(SAB) (cmt)

=> SB//MQ (Hai mp song song với nhau bị cắt bởi mp thứ 3 thì 2 giao tuyến tạo thành song song với nhau)

\(2a+3\ge2b+4\)

\(\Leftrightarrow2a+1\ge2b+2\)

\(\Rightarrow2a+1>2b\)

Chứng minh cái gì? chắc là so sánh

\(7^{714}< 8^{714}\)

\(2^{1999}>2^{1998}=\left(2^3\right)^{666}=8^{666}\)

\(\Rightarrow2^{1999}>8^{666}>8^{714}>7^{714}\)