Đặt số cần tìm thỏa mãn đề bài là \(\overline{579abc}\)

\(\overline{579abc}⋮9\Rightarrow5+7+9+a+b+c⋮9\)

\(\Rightarrow21+\left(a+b+c\right)⋮9\Rightarrow\left(a+b+c\right)=\left\{6;15;24\right\}\)

\(\overline{579abc}⋮5\Rightarrow c=\left\{0;5\right\}\)

+ Nếu c=0

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)=\left(a+b\right)=\left\{6;15\right\}\)

\(\overline{579abc}=\overline{579ab0}⋮7\)

\(\overline{579ab0}=579000+100a+10b=578998+98a+7b+2a+3b+2⋮7\)

\(578998+98a+7b⋮7\Rightarrow2a+3b+2⋮7\)

\(2a+3b+2=2\left(a+b\right)+b+2⋮7\)

Từ \(\left(a+b\right)=\left\{6;15\right\}\Rightarrow\left(2a+3b+2\right)=\left\{\left(14+b\right);\left(32+b\right)\right\}⋮7\)

\(\Rightarrow b=\left\{0;7;3\right\}\Rightarrow a=\left\{6;8;3\right\}\)

Ta có các số: 579600; 579870; 579330

Thử theo y/c đề bài chỉ có 579600 thỏa mãn đề bài

+ Nếu c=5

\(\Rightarrow\overline{579abc}=\overline{579ab5}⋮7\)

\(\overline{579ab5}=579005+100a+10b=579005+98a+7b+2a+3b⋮7\)

\(579005+98a+7b⋮7\Rightarrow2a+3b=2\left(a+b\right)+b⋮7\)

Từ \(\left(a+b+c\right)=\left\{6;15;24\right\}\)

\(\Rightarrow2a+3b+b=\left\{\left(12+b\right);\left(30+b\right);\left(48+b\right)\right\}⋮7\)

\(\Rightarrow b=\left\{2;9;5;1;8\right\}\)

Xét các trường hợp để tìm ra các số thích hợp chia hết cho7 rồi thử lại để tìm ra số thỏa mãn đề bài

Bạn tự làm nốt nhé!

Ta có

\(\widehat{OBP}=\dfrac{\widehat{ABO}}{2};\widehat{ODQ}=\dfrac{\widehat{CDO}}{2}\)

AB//CD (cạnh đối hbh) \(\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{CDO}\) (góc so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{OBP}=\widehat{ODQ}\) (1)

Hai góc trên ở vị trí so le trong => BP//DQ

OB=OD (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) (2)

\(\widehat{BOP}=\widehat{DOQ}\) (góc đối đỉnh) (3)

Từ (1) (2) (3) => tg OBP = tg ODQ (g.c.g) => BP=DQ

Xét tứ giác BPDQ có

BP//DQ (cmt); BP=DQ (cmt) => BPDQ là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

Mà OB=OD (cmt) => PQ đi qua O và OP=OQ (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Chứng minh tương tự ta cũng có BSDR là hbh; RS đi qua O và OR=OS

Xét tứ giác PRQS có

OP=OQ; OR=OS (cmt) => PRQS là hình bình hành (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhua tại trung điểm mỗi đường là hbh) (4)

Xét tg AOB có

\(\widehat{AOP}=\widehat{BOP}=\dfrac{\widehat{AOB}}{2}\)

Xét tg BOC có

\(\widehat{BOS}=\widehat{COS}=\dfrac{\widehat{BOC}}{2}\)

Mà \(\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BOP}+\widehat{BOS}=\widehat{POS}=\dfrac{\widehat{AOB}+\widehat{BOC}}{2}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

\(\Rightarrow PQ\perp RS\) (5)

Từ (4) và (5) => PRQS là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi)

Dựng \(AH\perp CD;BK\perp CD\left(H;K\in CD\right)\)

Xét tg vuông ADH có

\(\widehat{DAH}=90^o-\widehat{D}=30^o\)

\(\Rightarrow DH=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{4}{2}=2cm\) (trong tg vuông cạnh đối diện góc \(30^o\) băng nửa cạnh huyền)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{AD^2-DH^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}cm\)

\(\Rightarrow AH=BK=2\sqrt{3}cm\) (đường cao của hình thang)

Xét tg vuông BCK có

\(\widehat{KBC}=90^o-\widehat{C}=45^o\)

=> tg BCK vuông cân tại K \(\Rightarrow CK=BK=2\sqrt{3}cm\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{BK^2+CK^2}=\sqrt{12+12}=2\sqrt{6}cm\)

Xét HCN ABKH có

\(AB=KH=CD-DH-CK=8-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=8-4\sqrt{3}=4\left(2-\sqrt{3}\right)cm\)

\(M=4^{40}\left(1+4+4^2\right)=4^{40}.21=2^{80}.21=2^{77}.8.21=\)

\(=2^{77}.8.7.3=2^{77}.56.3⋮56\)

Dãy số trên là 1 cấp số cộng có d=1,3

a/ Giả sử 136,8 thuộc dãy trên thì nó thuộc số hạng thứ

\(\dfrac{136,8-12}{1,3}+1=97\)

Vậy 136,8 là số hạng thuộc dãy

b/

Số hạng thứ 100 là

\(a_{100}=12+\left(100-1\right)x1,3=140,7\)

a/

Xét tg vuông AME và tg vuông AHC có

AE=AC (gt)

\(\widehat{EAM}+\widehat{HAC}=\widehat{ACH}+\widehat{HAC}=90^o\Rightarrow\widehat{EAM}=\widehat{ACH}\)

=> tg AME = tg AHC (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

=> AM=AH

C/m tương tự khi xét tg vuông AKD và tg vuông AHB

=> DK=AH

=> DK=EM

b/

\(DK\perp AH\left(gt\right);EM\perp AH\left(gt\right)\) => DK//EM (cùng vg với AH)

DK=EM (cmt)

=> EKDM là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

=> IE=ID (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

a/ Dựng \(AH\perp BC\left(H\in BC\right)\)

Xét tg vuông ACH có

\(\cos C=\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{CH}{b}\Rightarrow CH=b\cos C\)

Xét tg vuông ABH có

\(\cos B=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{BH}{c}\Rightarrow BH=c\cos B\)

\(\Rightarrow CH+BH=BC=a=b\cos C+c\cos B\)

b/

Đặt \(\widehat{BAH}=\alpha;\widehat{CAH}=\beta\)

\(\Rightarrow\cos A=\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\)

\(=\dfrac{AH}{c}.\dfrac{AH}{b}-\dfrac{BH}{c}.\dfrac{CH}{b}=\dfrac{AH^2-BH.CH}{bc}=\)

\(=\dfrac{2AH^2-2BH.CH}{2bc}=\dfrac{c^2-BH^2+b^2-CH^2-2BH.CH}{2bc}=\)

\(=\dfrac{b^2+c^2-\left(BH+CH\right)^2}{2bc}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

Cách 1: Trong tg vuông cạnh đối diện góc \(30^o\) thì bằng nửa cạnh huyền

\(\Rightarrow AB=\dfrac{BC}{2}\Rightarrow BC=2AB\)

Cách 2:

Xét tg vuông ABC có

\(\widehat{B}=90^o-\widehat{C}=60^o\)

Xét tg vuông CEH và tg vuông BEH có

\(\widehat{C}=30^o\)

\(\widehat{EBH}=\dfrac{\widehat{B}}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{EBH}\)

EH chung

=> tg CEH = tg BEH (Hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow CH=BH\)

Xét tg vuông BEH và tg vuông BAE có

\(\widehat{EBH}=\widehat{EBA}\) (gt)

BE chung

=> tg BEH = tg EBA (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow AB=BH\)

Mà \(BH=CH=\dfrac{BC}{2}\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{BC}{2}\Rightarrow BC=2AB\)

15 phút = 0,25 giờ

45 phút = 0,75 giờ

Đặt vận tốc của Tuấn là là x

Vận tốc của Lan là y 

Nếu 2 bạn xp cùng lúc ta có PT1 là \(0,25x-0,25y=1\)

Nếu Lan xp trước Tuấn 15' thì khi tuấn đuổi kịp Lan Lan đã đi được 1 giờ

 ta có PT2 là \(0,75x-y=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0,25x-0,25y=1\left(1\right)\\0,75x-y=1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải hệ, bạn làm nốt nhé

+ Nếu a, b cùng lẻ hoặc cùng chắn thì

ab+a chẵn => đặt ab+a=2m

ab+b chẵn => đặt ab+b=2n

\(\Rightarrow\left(ab+a\right)\left(ab+b\right)=4.m.m⋮4\)

+ Nếu trong 2 số có 1 số lẻ số còn lại chẵn, giả sử a chẵn b lẻ thì

\(ab+a=a\left(b+1\right)\) Ta có a chẵn; b lẻ => b+1 chẵn

Đặt a=2p; (b+1)=2q 

\(\Rightarrow\left(ab+a\right)=a\left(b+1\right)=2p.2q=4.p.q⋮4\)

\(\Rightarrow\left(ab+a\right)\left(ab+b\right)⋮4\)

Kết luận

\(\left(ab+a\right)\left(ab+b\right)⋮4\forall a;b\)