\(=\dfrac{2^6+3.2^4+2^5}{2^5}=\dfrac{2^4\left(2^2+3+1\right)}{2^5}=4\)

Ta có AD là phân giác của góc A \(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\dfrac{A}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{c}{b}\) (Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{c}=\dfrac{CD}{b}=\dfrac{BD+CD}{b+c}=\dfrac{a}{b+c}\) (1)

Từ B dựng đường thẳng vuông góc với AD cắt AD tại H

Xét tg vuông ABH có

\(\sin\widehat{BAD}=\sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{BH}{c}\)

Xét tg vuông BHD có

\(BH\le BD\)  (2) (trong tg vuông cạnh huyền là cạnh có độ dài lớn nhất)

(Dấu = xảy ra khi tg ABC cân tại A)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{BH}{c}\le\dfrac{BD}{c}=\dfrac{a}{b+c}\)

Ta có

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{1}{2}ab\sin C\)

\(\Rightarrow bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C\)

\(\Rightarrow\dfrac{bc\sin A}{abc}=\dfrac{ac\sin B}{abc}=\dfrac{ab\sin C}{abc}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}\Rightarrow\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)

a/

Ta có

\(AB\perp CF\left(gt\right)\Rightarrow EF\perp CQ\)

\(PQ\perp CE\left(gt\right)\)

=> A là trực tâm của tg CQE => \(AC\perp QE\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

b/

Xét tg EBC có

\(AM\perp PQ\left(gt\right);CE\perp PQ\left(gt\right)\) => AM//CE

MB=MC (gt)

\(\Rightarrow AB=AE\) (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh, song song với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

c/ Sửa đề bài thành AP=AQ

Ta có

\(BD\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow BP\perp AC\)

\(QE\perp AC\left(cmt\right)\)

=> BP//QE (cùng vuông góc với AC) 

Xét tg AQE và tg APB có

\(\widehat{QEA}=\widehat{PBA}\) (góc so le trong)

AE=AB (cmt)

\(\widehat{QAE}=\widehat{PAB}\) (góc đối đỉnh)

=> tg AQE = tg APB (g.c.g) => AP = AQ

a/

Xét tg ABI và tg ACI có

AB=AC (cạnh bên tg cân)

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) (trong tg cân đường cao hạ từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh)

AI chung

=> tg ABI = tg ACI (c.g.c) => IB=IC => tg IBC cân

b/

tg ABI = tg ACI (cmt) \(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\)

c/ Xét tg IBF và tg ICE có

\(\widehat{BIF}=\widehat{CIE}\) (góc đối đỉnh)

IB=IC (cmt)

tg ABI = tg ACI (cmt) \(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\)

=> tg IBF = tg ICE => IE=IF

d/

Ta có

IE=IF (cmt) => tg IEF cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IEF}=\widehat{IFE}=\dfrac{180^o-\widehat{FIE}}{2}\) (1)

Xét tg cân IBC có

\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}=\dfrac{180^o-\widehat{BIC}}{2}\) (2)

Mà \(\widehat{FIE}=\widehat{BIC}\) (góc đối đỉnh) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{IFE}=\widehat{ICB}\) Hai góc này nằm ở vị trí so le trong

=> EF//BC

2 giờ 15 phút = 2,25 giờ

Gọi C là điểm gặp nhau của 2 xe

Gọi t là thời gian từ lúc 2 xe xp đến khi gặp nhau

Gọi \(v_1\) là vận tốc xe máy;  thì quãng đường AC là \(v_1t\)

Gọi \(v_2\) là vận tốc ô tô thì quãng đường BC là \(v_2t\)

Ta có hệ PT

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{v_2t}{v_1}=4\left(1\right)\\\dfrac{v_1t}{v_2}=2,25\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Nhân 2 vế của (1) với (2) \(\Rightarrow t^2=9\Rightarrow t=3\)

Thời gian ô tô đi từ B->A là 3+2,25=5,25 h

Vận tốc của ô tô là 210:5,25=40 km/h

Thời gian xe máy đi từ A->B là 3+4=7 h

Vận tốc của xe máy là 210:7=30 km/h

1/

a/

Ta có

\(AN=\dfrac{1}{2}AB;AM=\dfrac{1}{2}AC\) mà AB = AC (cạnh bên tg cân)

=> AN=AM

Xét tg ABM và tg ACN có

AN=AM (cmt); AC=AB; \(\widehat{A}\) chung 

=> tg ABM = tg ACN (c.g.c)=> BM=CN

b/

Ta có BN=AN (gt); CM=AM (gt) mà AN=AM (cmt) => BN=CM

Xét tg BCN và tg BCM có

BN=CM (cmt), BC chung; \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân) 

=> tg BCN = tg BCM (c.g.c) \(\Rightarrow\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\) => tg IBC cân

c/

Xét tg ABI và tg ACI có

AB=AC; AI chung, tg IBC cân (cmt) => IB=IC

=> tg ABI = tg ACI (c.c.c) \(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) => AI là phân giác của \(\widehat{A}\)

d/

Do AI là phân giác của \(\widehat{A}\Rightarrow AI\perp BC\) (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

2/

a/

Xét tg ABD và tg AED có

AB=AE (gt); AD chung; \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (gt)

=> tg ABD = tg AED (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ABD}=90^o\Rightarrow DE\perp AE\)

b/ Xét tg ABE có

AB=AE (gt) => tg ABE cân tại A mà AD là phân giác của \(\widehat{A}\)

=> AD là trung trực của đoạn BE (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đông thời là đường trung trực )

Gộp các số hạng 1,2,1,2,3,4,5 thành 1 nhóm

Như vậy mỗi nhóm có 7 số hạng và có tổng là

1+2+1+2+3+4+5=18

Số nhóm được tạo thành từ 40 số hạng đầu tiên của dãy là

40:7=5 nhóm dư 5 số hạng

Tổng 40 số hạng đầu tiên là

5x18+1+2+1+2+3=99

Gộp các số hạng 1,3,5,7,9,7,5,3,1thanhf 1 nhóm

Như vậy mỗi nhóm có 9 số hạng và có tổng là

1+3+5+7+9+7+5+3+1=41

Số nhóm được tạo ra từ 150 số hạng là

150:9=16 nhóm dư 6 số hạng

Tổng của 150 số hạng đầu tiên là

16x41+1+3+5+7+9+7=688

\(2C=2+\dfrac{3}{2^2}+\dfrac{4}{2^3}+\dfrac{5}{2^4}+...+\dfrac{100}{2^{99}}\)

\(C=2C-C=1+\dfrac{3}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^5}+...+\dfrac{1}{2^{99}}-\dfrac{100}{2^{100}}=\)

\(=1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^5}+...+\dfrac{1}{2^{99}}\right)-\dfrac{100}{2^{100}}\)

Ta thấy các số hạng trong ngoặc đơn có 97 số hạng và lập thành 1 cấp số nhân có công bội là 1/2

\(\Rightarrow C=\dfrac{7}{4}+\dfrac{\dfrac{1}{2^3}\left(1-\dfrac{1}{2^{97}}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{100}{2^{100}}=\)

\(=\dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{2^2}\left(1-\dfrac{1}{2^{97}}\right)-\dfrac{100}{2^{100}}=2-\dfrac{1}{2^{99}}-\dfrac{100}{2^{100}}\)